高三数学同步检测(二)
统计
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.为检查某校学生心理健康状况,市教委从该校1 400名学生中随机抽查400名学生,检查他们的心理健康程度,则下列说法正确的是………………………………………………………( )
A.1 400名学生的心理健康状况是总体
B.每个学生是个体
C.400名学生是总体的一个样本
D.400名学生为样本容量
分析 本题考查对总体、个体、样本及样本容量等概念的理解.
解 在统计里,我们把所要考察对象的全体叫总体.它包含数量、属性两个方面,其中每个学生的心理健康状况是一个个体,400名学生的心理健康状况是样本容量.
答案 A
2.用随机数表进行抽样有以下几个步骤，这些步骤的先后顺序应为………………（ ）
①将总体中的个体编号②获取样本号码③选定开始的数字④确定读数的方向
A.①②③④ B.①③④②
C.③②①④ D.④③①②
解析 用随机数表进行抽样的步骤是：首先将总体中的个体编号，然后在随机数表中任选一个数作为开始，按照一定的方向，根据实际情况确定样本号码.
答案 B
3.从50件产品中，采用逐一抽取的方法抽取5件产品，若其中只有1件次品，在送质检部门进行检验时次品被抽到的概率是……………………………………………………（ ）
A.0.1 B.0.02 C.0或1 D.以上均不对
解析 本题的特点是从总体中逐个抽取，是简单随机抽样的抽签法，每件产品（包括该件次品）被抽到的概率均为
=0.1.本题也可从等可能性事件的角度去考虑，即从50件产品中抽取5件，有1件次品，它的概率是
答案 A
4.★某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为…………………………………………………………………………( )
A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h
分析 本题考查利用图形语言求随机变量ξ的数学期望.
解 由图形可知,阅读时间为0 h、0.5 h、1.0 h、1.5 h、2 h的学生所占的概率分别为、
、
、、.
所以一天中平均每人的课外阅读时间为
Eξ=0×+0.5×+1.0×+1.5×+2×=0.9(h).
答案 B
5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本的容量n等于……( )
A.100 B.160 C.80 D.32
分析 本题主要考查分层抽样的基础知识.利用分层抽样抽取样本时,各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比.
解 由题意有n×
=16,解得n=80.
答案 C
6.将容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分为8个组,如下表：
| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 频数 | 10 | 13 | 14 | 14 | 15 | 13 | 12 | 9 |
则第三组的频率和累积频率分别是…………………………………………………………( )
A.0.14和0.37
B.
和
C.0.03和0.06
D.
和
分析 本题考查总体分布中某一试验结果的频率及累积频率的概念.其中某一试验结果的频率就是它的频数与样本容量的比值；累积频率是该试验结果及其前面所有试验结果的频率之和.
解 第三组的频率P3=
=0.14,
累积频率为P1+P2+P3=
+
+=0.37.
答案 A
7.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在（2 700，3 000）内的频率为…………………………………………………………………………………（ ）
A.0.001 B.0.1 C.0.2 D.0.3
分析 在频率分布直方图中，各小长方形的面积=组距×频率[]组距=频率,即各小长方形的面积等于相应各组的频率.
解 由直方图的意义可知，在区间(2 700,3 000)内取值的频率为(3 000-2 700)×0.001=0.3.
答案 D
8．某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100户的样本,记作①；某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是……………………………………………………………………………( )
A.①用随机抽样法,②用系统抽样法 B.①用分层抽样法,②用随机抽样法
C.①用系统抽样法,②用分层抽样法 D.①用分层抽样法,②用系统抽样法
分析 本题考查常用的抽样方法.
解 对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的3部分组成,而所调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样法.
对于②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对12名调查对象是“平等”的,所以适宜采用随机抽样法.
答案 B
9.★设随机变量ξ服从正态分布ξ~N(1,4),若P(ξ≤C)=43P(ξ＞C),则常数C等于(Φ(0.5)=0.691 5,Φ(1)=0.841 3,Φ(1.88)=0.969 7,Φ(2)=0.977 3)……………………………（ ）
A.2 B.3 C.4.76 D.5
分析 本题考查正态分布与标准正态分布的转化.
解∵μ=1,σ=2,
∴P(ξ≤C)=Φ(
),P(ξ＞C)=1-Φ().
又∵P(ξ≤C)=43P(ξ＞C),
∴Φ()=
≈0.977 3=Φ(2).
∴=2,C=5.
答案 D
10.正态分布函数f(x)= 
(μ＜0)的图象为……………………………( )
解析 本题考查正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交；
②曲线关于直线x=μ对称；
③曲线在x=μ时位于最高点；
④当x＜μ时,曲线上升；当x＞μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
答案D
第Ⅱ卷(非选择题共60分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
11.经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的学生,那么全班学生共有 人.
解析 由题意知,设持三种态度的学生人数分别为5x,x,3x,则3x-x=12,解得x=6,即持三种态度的学生数分别为30,6,18,全班人数为30+6+18=54人.
答案 54
12.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 、 、 辆.
分析 本题考查利用分层抽样抽取样本的方法.
解 因为样本容量与总体个数的比值为46∶9 200=1∶200,
所以三种型号的轿车依次应抽取的数量为
、
、
,即6、30、10.
答案6 30 10
13.★某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他试着随意拨号,假设他拨过的号不再重复,则其拨号不超过3次拨通的概率为.
解析 该人第1次拨通电话的概率P1=
;
第2次拨通电话的概率P2=
×
=;
第3次拨通电话的概率P3=×
×
=.
所以,拨号不超过3次拨通电话的概率P=++=
.
答案
14.正态总体N(1,4)在区间(-∞,3)内取值的概率是 .
分析 本题考查正态总体N(μ,σ2)在任一区间(x1,x2)内取值的概率.解题的关键是根据公式F(x)=Φ(
),把它化成标准正态总体N(0,1)来求解.
解∵σ2=4,∴σ=2.又∵μ=1,
∴F(3)=Φ(
)=Φ(1)=0.841 3.
答案 0.841 3
三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)某批产品共有1 563件,将产品按出厂顺序编号,号码从0 001到1 563.检测员要从中抽取15件产品进行检测,请你给出一个系统抽样的方案.
分析 采用系统抽样的步骤是:(1)将总体中的个体编号;(2)对整个编号进行分段,当分段间隔不是整数时,还要剔除部分个体;(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;(4)按事先定出的规则抽取样本.
解 我们采用系统抽样,按照下面的步骤设计方案:
(1)应抽取的样本容量是15.因为
不是整数,所以应先从总体中剔除3个个体(剔除的方法可采用随机抽样法);
4分
(2)将余下的1 560件产品按出厂顺序从0 001到1 560进行编号,分成15段,每段104件产品.在第一段的104个编号中随机抽取一件编号为l的产品作为起始号; 6分
(3)顺次取出编号为l,l+104,l+2×104,…,l+14×104,这样就获得了15个个体的样本. 8分
16.(本小题满分8分)在一小时内统计一传呼台接收到用户的呼唤次数,按分钟统计如下：
0 0 1 2 1 2 2 3 4 1
0 1 2 5 3 1 2 2 2 4
2 4 3 1 1 3 2 3 4 6
1 2 0 2 3 1 3 1 4 1
1 2 0 2 3 4 2 5 0 2
1 1 0 3 2 1 3 1 2 0
写出一分钟内传呼呼唤次数的频率分布表,并画出频率分布图.
分析 本题考查如何绘制样本的频率分布表,以及如何用条形图描绘这一频率分布表.若用相应的条形图的高度来表示取各值的频率时,所有条形图高度和等于1.
解(1)
| 一分钟内呼唤次数 | 频数 | 频率 |
| 0 | 8 | 0.133 |
| 1 | 16 | 0.267 |
| 2 | 17 | 0.283 |
| 3 | 10 | 0.167 |
| 4 | 6 | 0.100 |
| 5 | 2 | 0.033 |
| 6 | 1 | 0.017 |
| 总计 | 60 | 1.000 |
5分
(2)
8分
17.(本小题满分8分)某学校高三第1次质量检测,数学成绩近似服从正态分布N(110,100)(单位:分),如果120分以上(含120分)为“优秀”,求数学成绩“优秀”的学生占总人数的百分比.(下列数据供计算时选用:Φ(1)=0.941 3,Φ(2)=0.977 3)
分析本题考查正态总体与标准正态总体的转化,即求ξ≥120的概率.
解设ξ为学生的数学成绩,则ξ~N(110,100). 2分
∵μ=110,σ=10,
∴P(ξ≥120)=1-P(ξ＜120)=1-Φ(120-
)=1-Φ(1)≈0.158 7, 7分
即数学成绩优秀的学生占总人数的15.87%. 8分
18.(本小题满分10分)为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为40的样本，检测结果为一级品8件，二级品10件，三级品15件，等外品7件.
(1)列出样本的频率分布表.
(2)画出表示样本频率分布的条形图.
(3)根据以上结果，估计此种产品为一级品或等外品的概率约为多少？
分析 本题考查样本的频率分布表，频率分布条形图及应用.
解 (1)样本的频率分布表为
| 产品 | 频数 | 频率 |
| 一级品 | 8 | 0.200 |
| 二级品 | 10 | 0.250 |
| 三级品 | 15 | 0.375 |
| 等外品 | 7 | 0.175 |
4分
（2）样本频率的条形图如下：
8分
（3）由上表可看出：此种产品为一级品或等外品的概率约是0.2+0.175=0.375. 10分
19.★(本小题满分10分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:
| x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程.
解 (1)散点图如下图所示:
显然,它们大致分布在一条直线附近,即符合线性相关. 3分
(2)
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xi | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| yi | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
| xiyi | 60 | 160 | 300 | 300 | 560 |
|
|
|
|
|
=5,
=50
∴b=
8分
于是所求的回归直线方程为
10分