2006年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
, 
, 则 
（ ）
A．
B．
C． 
D．
2．已知cos(
)=
，则sin(
)的值等于
( )
A．
B． 
C．
D．
3．
是直线
与直线
垂直的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．等比数列
是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13
=4T9，则a8•a15= （ ）
A. 
B. 
C. 2 D. 4
5．曲线C：
在点
处的切线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
6．下列条件中，能推出两个平面α与β平行的是 ( )
A．两个全等△ABC, △A1B1C1分别在平面α与平面β内，且AA1//BB1//CC1
B．一条直线与平面α、平面β所成的角相等
C．直线a//α, a//β
D．平面α、平面β分别与两条异面直线a、b都平行
7．已知向量
，
则
与
的夹角为
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
8．已知函数
的定义域为，满足，其导函数为
的图像
如右图，则函数的图像是
（ ）
9．如图，已知直三棱柱
的侧棱长是2，底面
是等腰直角三角形，且
,AC=2，E是AB的中点
，
D是AA1的中点，则三棱锥
的体积是
（ ）
A．1 B．
C．
D． 
10．P是双曲线
右支上一点，F是右焦点，M是右准线l与x轴的交点，若
，则双曲线的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在数列
中，
,且
，
,则
中1的个数是 ( )
A．3 B．5 C．7 D．9
12．已知定点
，动点P与A，B连线的斜率之积满足
，
当
时，则
的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．已知
，则
．
14．圆
被直线
截得的劣弧长为
，则
a = ．
15．在某班举行的春节联欢晚会开幕前已排好有10个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去甲、乙、丙三个不同的新节目，且插进的三个新节目按甲、乙、丙顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．
16．函数
，若
，则x的取值范围是_________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
若函数
的图象上相邻的对称中心的横坐标相差．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数图象按向量a = (0, c)平移后得到函数
的图象，且对
恒有
≤2成立，求实数c的取值范围．
18．（本小题满分12分）
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
，
，，且每个问题回答正确与否相互独立．
（Ⅰ）求小王过第一关但未过第二关的概率；
（Ⅱ）求小王所获奖品价值为3000元时的概率．
19．（本小题满分12分）
已知不等式
的解集是
．
（Ⅰ）求m，t的值；
（Ⅱ）若函数
在区间
是单调增函数，求a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图， 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为4，
侧棱长为2，动点P在AA1上运动，动点Q在底面
ABCD内运动，且PQ=2 ．
（Ⅰ）求证：BD⊥AA1C1C平面；
（Ⅱ）求线段PQ的中点M所围成图形的面积；
（Ⅲ）若
，当四面体
的体积
最小时，求二面角
的大小．
21．（本小题满分12分）
若在直角坐标平面第一象限内，点的坐标
满足
，并且x, y都大于
的整点(横、纵坐标均为整数)的个数记为
．
(1)求
并写出数列
的通项公式
（不要求证明）；
(2)设数列
满足：
，求
．
22．（本小题满分14分）
设H是的外心，
，O为坐标原点，动点G满足：
,且 
(1)求顶点C的轨迹E的方程；
(2)过点
作直线l与曲线E相交于M,
N两点，定点
，若连接并延长
分别交直线
于
两点，两点的横坐标之积是否为定值？
如果是，加以证明；如果不是，请说明理由．
2006年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试
数学(理科)参考答案
一、选择题： CBACB DACAA DB
二、填空题： 13．20； 14．
； 15． 286； 16．
．
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）
………………………（3分）
设最小正周期为T，依题意知．
．
∵
所以
…………………（6分）
（Ⅱ）函数
的图象按向量a =(0, c)平移后得到函数图象，即
， ………（8分）
若对, ≤2恒成立，则需
≤2． ………………（10分）
即：
≤2, c ≤
．
……………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,
则
………………………（6分）
（Ⅱ）设小王所获奖品价值为3000元时的概率为P2
则
………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）因不等式的解集是
则1,m是方程
的两根．由韦达定理
，
解得
．
……………………（5分）
（Ⅱ）函数
的导数
………（7分）
当 
时，
是增函数．
∴
,对
恒成立,即
成立．…(8分)
令
, ∴在
为增函数．
∴ a≤
………………………（11分）
当
时，经检验在上不是增函数．
综上，a的取值范围是
． ………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱．∴底面ABCD为正方形 ∴BD⊥AC
又AA1⊥底面ABCD. BD
底面ABCD． ∴BD⊥AA1
∴BD⊥平面AA1C1C； ………………（4分）
（Ⅱ）∵AA1⊥底面ABCD． ∴AA1⊥AQ.
又M为PQ的中点, ∴AM=1 ……（６分）
∴点M在以为球心，半径为1的球面上．
故动点M所形成图形的面积为
．
………………………（８分）
（Ⅲ）若，则
．
∴Q在以A为圆心半径为
的圆弧上运动． ∵
．
又C1到面BDQ的距离为2，只要△BDQ的面积最小即可，即Q到BD距离最小．
∵AC⊥BD, ∴Q在AC上．设
, 由（Ⅰ）BD⊥平面CC1Q,
过O作OE⊥C1Q交C1Q于E，
则
为二面角的平面角． ………………………（10分）
∽
．
∴
∴二面角的大小为
．………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
(1) 满足条件的点
，所表示的平面
区域内，如图阴影部分．
不难得出
…………………（3分）
∴
…………………（5分）
(2) 
………………………（6分）
∴数列
是以1为首项，公差为3的等差数列．…（８分）
∵
∴
……………①
……………②
② - ①得
∴
………………………（12分）
22．（本小题满分14分）
(1)令
, 
, 则
．由
得
， ∴
．
又， ∴
， ∴
………………（3分）
∵H是的外心，∴
，∴
整理得，顶点C的轨迹E的方程为：
． ………（6分）
(2) 两点的横坐标之积是
为定值． ………………………（７分）
设直线l：
，代入
得
．
设
，则
． ………………………（８分）
同理可得
． ∴
直线RM的方程为
，
直线RN的方程为
． ………………………（10分）
∴
，
．………………………（12分）
为定值．
………………………（14分）