2006年押题密卷
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共分12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、（理）定义运算
，复数z满足
，则复数在的模为
A．
B．
C．
D．
（文）已知
是全集，M、N是的两个子集，若
，M∩N=Φ，则下列选项中正确的是
A．
B．
C．
D． 
2、若条件p：
，条件q：
，则
是
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
3、已知
满足约束条件
则
的最小值为
A．-3 B．3 C．-5 D． 5
4、（理）已知在函数
图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在
上，则
的最小正周期为
A．1 B．2 C．3 D． 4
（文）若函数
对任意实数
都有
，则
A．0 B．3 C．-3 D． 3或-3
5、在
中，
，
，
是
边上的高，若
，则实数
等于
A．
B．
C．
D．
6、（理）已知
展开式中的常数项为1 120，其中实数
式常数，则展开式中各项系数的和为
A．
B．
C．1或
D．1或
（文）（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5(x-1)等于
A．
B．
C．
D．
7、设双曲线
的右焦点为
，
是双曲线上任意一点，点
的坐标为
，则
的最小值为
A．9
B．
C．
D．
8、已知方程
的四个根组成一个首项为
的等比数列，则
A．1
B．
C．
D．
9、（理）在正三棱锥
中，，
分别是棱
、
的中点，且
，若侧棱
，则正三棱锥外接球的表面积是
A．
B．
C．
D．
（文）已知棱长为的正四面体
右内切球
，经过该棱锥
的中截面为，则到平面的距离为
A．
B．
C．
D．
10、（理）设
为可导函数，且满足
=-1，则过曲线
上点
处的切线率为
A．2 B．-1 C．1 D．-2
（文）垂直于直线
，且与曲线
相切的直线方程是
A．
B．
C．
D．
11、（理）设随机变量的分布列为下表所示且
，则
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.1 |
|
| 0.1 |
A．0.2 B．0.1 C．-0.2 D．-0.4
（文）老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为
A．
B．
C．
D．
12、如图，设点是单位圆上的一定点，动点
从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧
的长为
，弦
的长为
，则函数
的图像大致是
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13、不等式
的解集是
。
14、已知
为坐标原点，动点满足
，其中
且
，则的轨迹方程为
。
15、（理）等比数列
中，已知
，记
，则
。
（文）等比数列中，已知，则公比
。
16、（理）从装有
个球（其中
个白球，1个黑球）的口袋中取出
个球
,共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
，即有等式：
成立。试根据上述思想化简下列式子：
。
。
（文）对于函数的这个性质：1奇函数；2偶函数；3增函数；4减函数，函数
具有的性质的序号是
。（把具有的性质的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
是定义在
上的偶函数，当
时，
，当
时，的图像时斜率为
且在
轴上的截距为
的直线在相应区间上的部分。
（1）
求
、
的值；
（2）
写出函数的表达式，作出其图像，并根据图像写出函数的单调区间。
18、（本小题满分12分）
（理）一个口袋里有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果时黑球，则这个黑球不放回而另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的求时白球为止。求直到取到白球所需的抽取次数
的概率分布列及
。
（文）在某次空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率时0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率时0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率时0.4，求在这个三个回合中：
（1）甲机被击落的概率；
（2）乙机被击落的概率。
19、（本小题满分12分）
已知等差数列中，
，前10项和
。
（1）
求数列的通项公式；
（2）
设
，问
是否未等比数列；并说明理由。
20、（本小题满分12分）
在三棱柱
中，侧面
底面
，且
。
（1）
求证：平面
平面
；
（2）
求异面直线
与
所成的角。
21、（本小题满分12分）
如图，
、
为圆
与轴的两个交点，
为垂直于轴从弦，且
与
的交点为。
（1）
求动点的轨迹方程；
（2）
记动点的轨迹为曲线
，若过点
的直线与曲线交于轴右边不同两点
、
，且
，求直线的方程。
22、（本小题满分14分）
（理）已知函数
定义在区间
上，且
。又
、
是其图像上任意两点
。
（1）
求证：的图像关于点
成中心对称图形；
（2）
设直线
的斜率为
，求证：
；
（3）
若
，求证：
。
（文）已知函数
图像上的点
处的切线方程为
。
（1）
若函数在
时有极值，求的表达式；
（2）
函数在区间
上单调递增，求实数
的取值范围。
参考答案与解析
1、（理）C 由得
，
，故选C。
（文）D由韦恩图知A、B一定不成立，由集合运算率
，所以选项C错，对于D选项，(CUM)∪(CUN)=CU(M∩N)≠CUΦ=U，故选D。
评析 本题主要考查集合的基础只是，展示集合语言的工具作用
2、B 
或
或
，
，但推不出
3、A
。由图可知，当过点（3，-3）时，
。
4、（理）D 
。
函数的最小正周期为2R，
最大值点为
相邻的最小值点为
代入圆方程，得R＝2，T＝4
（文）D 
对称轴
。
。
5、B
即得
又
是边上的高，
即
，整理可得
即得
，故选B。
6、（理）C 因为
，所以
，求展开式各项系数和，只需令
，可得1或，故选C。
（文）B 由二项式定理知原式
，故选B。
7、B
双曲线标准方程为
，离心率为
，运用第二定义，将
转化为到右准线的距离。 选B。
8、B
不妨设这四个根为
，其所有可能的值为，
，
，
，由
得
，即
则
。当
时，四个根为，1，2，4，且，4为一组，1，2为一组，则＋4＝，
，则
；当
时，不存在任两根使得
，或
，
舍去。故选B。
9、（理）C 
。又
平面
。
、
、两两垂直。将补成正方体，则的外接球与正方体的外接球相同，则球的直径等于正方体的对角线长，
。
（文）C 运用等体积法，设内切圆半径为
，
中截面到底面的距离为，则到平面的距离为
。
10、（理）B 
，即
，则
在点处的切线斜率为－1，故选B。
（文）A 因为所求直线垂直于直线，所以其斜率为
，又由曲线求导数得
，由
求得
，则切点为
，所以切线方程为
，即，故选A。
11、（理）C 由
，得
1，
又由
，得
2，
由12解得
，故应选C。
（文）C 因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率
，故应选C。
12、C
设P运动线速度为，利用圆周角、圆心角、弧度数之间的关系，求得函数关系式
即
故选D。
13、
或
由得
。
由根轴法得不等式的解集为或
14、
设点的坐标为
则由得
解之得
又由
代入消元得。故点的轨迹方程为。
15、（理）
设等比数列的公比为
，则
解得
解得
。
。
（文）
同（理）中的解析。
16、（理）
根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从
个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等
类，故有种取法。
（文）13 
显然
所以是奇函数；
在
上恒成立，所以是增函数。故答13。
17、（1）当时，
又是偶函数，
。
（2分）
当时，
。
（4分）
（2）当
时，
（6分）
（8分）
画出在上的图像如图所示。
（10分）
18、（理）由题意知所有可能的取值为
。
（2分）
则
（4分）
（6分）
（8分）
的概率分布为
（10分）
|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
（12分）
（文）设A表示“甲机被击落”这一事件，则A发生只可能在第2回合中发生，而第2回合又只能在第1回合甲失败了才可能进行，用
表示第
回合射击成功
。B表示“乙机被击落”的事件，则
（4分）
(6分)
（8分）
。
（12分）
19、（1）设等差数列的公差为，则由，得
解得
（4分）
。
（6分）
（2）由，得
。
（9分）
是首项为2，公比为4的等比数列。 （12分）
20、解法一 （1）平面
平面
，
，
平面
（2分）
在
中，
为菱形。
平面
。
（4分）
又
平面
平面
平面
.（6分）
（2）延长
到
，使
，连
为平行四边形。
为异面直线
与
所成的角。
（9分）
设
平面
在菱形
,
又
从而在
中，
（11分）
异面直线与所成的角的大小为
。
（12分）
解法二 建立如图所示的空间直角坐标系。设
则
， （2分）
则
，
（4分）
（1）
，
平面。
又平面，平面平面。（6分）
（2）
。（8分）
。（11分）
异面直线与所成的角为。（12分）
21、（1）由图可知
。设
，则
|
|
|
（4分）
2×3可得
，由1可得
，
。
（6分）
（2）设直线的方程为
则
消去可得
。
（8分）
直线交双曲线的右支于不同两点，
，
解得 
。
（10分）
。
消去
可得
（舍正），
，
所求直线的方程为
。
（12分）
22、（理）（1）
得
。（1分）
的图像可由
的图像向上（或下）平移（或
）个单位二得到。
（3分）
又是奇函数，其图像关于原点成中心对称图形，
的图像关于点成中心对称图形。
（5分）
（2）点
、
在
的图像上，
。
（7分）
又、
，
，从而
（11分）
（3）
，且
，
1
又
2
1+2得
，故
（14分）
（文）
，（2分）
因为函数在处的切线斜率为-3，所以
，即
，
1
又
得
。
2 （4分）
（1）函数在时有极值，所以
， 3
解123得
，所以
。 （8分）
（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，
则
（11分）
得
，所以实数的取值范围为
。
（14分）