南昌市高三第一次模拟考试题

2006届南昌市高三第一次模拟考试题

2006.3.9

一．选择题：（5×12分）

1．  命题“若，则”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　 （　D  ）

A.若，则　　　　　  B.若，则

C.若a ≤b，则　　　　　  D.若，则a ≤b

2．将函数的图象按向量平移后所得图象的解析式是（ A ）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

3．已知是平面，是直线．下列命题中不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　B　)

A．若，，则　　　　　　　　　 B．若，，则

C．若，，则　　　　　　　　　D．若，，则

4．在锐角中，若，则的取值范围为（　A　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．（1，）

C．　　　　　　　　　　　　　　D．（―1，1）

5.（理）定义运算，则符合条件的复数z为　　　　（ A　）

　　A. 　　　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　　　　　　　　C. 　　　　　 D.

（文） 已知二项式展开式的第4项与第5项之和为零，那么等于　（ C　）

　　　 A．1　　　　 B．　　 　　　C．2　　　 　　　　　 D．46

6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ D　）

　　　 A．3π　　　　　　　　　　 B．4π　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．6π

7．设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 （B　）

　　　 A．　　　　　　B．[－1，1]　　　　　　 C．[－2，2]　　　　　　 D．[－4，4]

8．互不相等的三个正数成等比数列，且点

P₁（共线

则，（　C　 ）

A．等差数列，但不等比数列；　　　B．等比数列而非等差数列

C．等比数列，也可能成等差数列　　D．既不是等比数列，又不是等差数列

9．（理）设实数满足，，，则与的大小关系为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( C　)

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．不能确定，它们的大小与有关

(文) 不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　  (B　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

10．若函数即是奇函数，又是增函数，那么的图象是　　　（　D ）

11．从6人中选出4人加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人

　 都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有　　　　　　　　　　　 （ C ）

　　　 A．96　　　　　　　　　　　B．180　　　　　　　　　 C．240　　　　　　　　　　　D．288

12.已知的反函数为，则（　B　）

　A 　　　B

　C 　　　D

二．填空题：（4×4分）

13．（理）设函数在区间上连续，则实数a的值为 __2___.

(文)在等差数列__13___.

11．函数的定义域为_　；值域为　　。

15．已知变量x、y满足，若使z=x+ky最小的最优解有无穷多个，则k的值是__-1____。

16．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.

　　写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：　　　　　　  .

16．(1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.

三．解答题：（共74分）

17．（本小题满分12分）

　　已知：（为常数）

　　（I）若，求的最小正周期；

　　（II）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值。

解：　　　　　　　　　……3分

　　　　　　　　　  　　　　　　　　　 ……5分

　　（I）的最小正周期　　　　　　　　　　……6分

　　（II）由知　　　　　　　 ……8分

　　

　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　

　　，解得　　　　　　　　　　　 ……12分

18． （本小题满分12分）

某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记。

（1）　　　 求的概率；

（2）　　　 求：前两次均出现正面，且的概率。

（3）　　　 （理科做文科不做）记，求的数学期望。

解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为

则

（2）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为。

 

（3）6次中前两次均出现正面，记后4次中出现正面次，则～B（4，），

，

又，。

19．（本小题满分12分）

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB= 4，AC=AA₁=2，∠CAB=60°。

（1）　　　 求证：A₁C⊥B₁C₁；

（2）　　　 求点B₁到平面A₁BC的距离；

（3）　　　 求二面角C₁—A₁B—C的大小。

19．解法（一）：（1）在△ABC中

　　　　 

，即，

由直三棱柱性质知：平面ACC₁A₁⊥平面ABC。

∴BC⊥平面ACC₁A₁

∴BC⊥A₁C　　　　　 又BC∥B₁C₁

∴B₁C₁⊥A₁C　　　　……………………………………………………………… 4分

（2）∵BC∥B₁C₁，平面ABC，

∴B₁C₁∥平面A₁CB

∴B₁点到平面A₁CB的距离等于点C₁到平面A₁CB的距离。……………………6分

设点B₁点到平面A₁CB的距离为，则

　………………………8分

（3）连结AC₁，交A₁C于O，过O作OD⊥A₁B于D，连结C₁D

由（1）BC⊥平面ACC₁A₁得：平面BCA₁⊥平面ACC₁A₁

由正方形ACC₁A₁知AC₁⊥A₁C

∴C₁A⊥平面A₁BC　　　　

∴OD是C₁D在平面A₁BC上的射影

∴C₁D⊥A₁B（三垂线定理）

∴∠ODC₁是二面角C₁—A₁B—C的平面角。……………………………………10分

在△A₁BC中，A₁B=，BC=，A₁C=，A₁O=。

由得：

∴二面角C₁—A₁B—C的大小是……………………………………12分

解法（二）先证，然后以C为原点，分别以CA、CB、CC₁为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（略）

20．（本小题满分12分）

（理）已知a>1,函数，求函数f(x)在时的最小值。

解：一.时，，，，

时是增函数，

；

二．1<a≤2时，时，，

时，，

；

三．时，，

，

时是减函数

（文）已知，求函数的单调区间。

解：

一．a=0时，递增区间是；

二．a>0时，，

递增区间是；

三．a<0时，，

（1）－2<a<0时，递增区间是；

（2）a=-2时，无递增区间；

（3）a<-2时，递增区间是。

21．（本小题满分12分）

已知抛物线C的顶点在原点，以双曲线的左准线为准线，（1）求抛物线C的方程；（2）A是抛物线C上任一点，A关于x轴的对称点为B，过A作抛物线的弦AP、AQ，且AP⊥AQ，是否存在常数h，使得？

解：（1）双曲线的左准线为x=-1,抛物线方程是；

（2）设，AP的直线方程为，

将抛物线方程代入AP的直线方程，得，

，

同理：，

，

，

令，

点的坐标是，

∴存在h=4,使得且

22．（本小题满分14分）

已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）设a>0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。

解：（1），又，

是公比为的等比数列，

（2），

现证：时，对成立。

①　　 n=1时，成立;

②　　 假设n=k(k≥1)时，成立，则，

即n=k+1时，也成立，时，

a的取值范围是。

22．（文）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，，求证：。

解：（1），又，

是公比为的等比数列，

（2），

……①，②，①－②得：

，