昆明一中2005—2006学年度上学期期末高三一轮复习终结测试
数学试卷（理科） 2006．1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷1～2页，第II卷3～8页.全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等按要求涂写在答题卡上；答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、班别、考号等填写在密封线左边的空格内，并在试卷右上角填上座位号．
2．第Ⅰ卷的答案必须答在答题卡上；第Ⅱ卷可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔．
3．考试结束时，将试题第Ⅱ卷和答题卡一并交回，第Ⅰ卷和草稿纸自己带走．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若集合A={y│y=x
,-1≤x≤1},B={y│y=2-
,0<x≤1},则A∩B等于
A. (-∞, -1] B. {1} C.Φ D. [-1,1]
2、设
，
，则满足条件
，
的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是A
 |
A . B. C . D.
3、设f(x)=2sin (
x+
)，若对任意x∈R都有f (x
)≤f (x) ≤f (x
)成立，则x-x的最小是
A．4
B.2
C.1
D.
4、
的展开式中
的系数等于
A 120
B 280
C 
D 35
5、已知数列
满足
，若
，则
A 
B
C
D
6、2006年香港大学首次在云南招生，因此两位同学去参加港大的英语口语考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为
A． 19 B． 22 C．21 D．20
7、如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边
上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E
的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为
A．
B．1 C．2 D．2
8、设函数f(x)＝xsinx在x＝x0处取得极值，则(1＋
)(1＋cos2x0)的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
9、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x
[0,1]时，f(x)=2x-1，则f(log
6)的值为
A．- B.-
C.-5 D.-6
10、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是
A 
B
C 
D 
11、点P（-3,1）在椭圆
的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
A 
B
C
D
12、已知直线
(
不全为
)与圆
有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有
A.66条 B.72条 C.74条 D.78条
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。）
13、已知
的夹角为45°，要使
垂直，则 
.
14、平面内有n个圆两两相交，任何三个圆不过同一点，写出交点个数随着n的变化而变化的函数关系式f(n)：_________________________________.
15、在R上定义运算
：xy=x(1－y)，若不等式(x－a) (x+a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
16、给出下列四个命题：①设
，若
，则
；②若偶函数
在
处可导，则
； ③函数
与
的图象关于直线
对称；④函数
的最小值是 5.则其中错误的命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx＋acosωx)(a∈R，0＜ω≤1)满足：f(x)＝f(－x)，f(x－π)＝f(x＋π)．
（I）求f(x)的解析式；
（II）若m2－4n＞0，m，n∈R，求证：“｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f（x）]2＋mf(x)＋n＝0在区间(－，)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．
18、（本小题满分12分）
下表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1至5个档次。如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生有5人，现设该班任意一位学生的英语成绩为
，数学成绩为
|
| 数学 | |||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| 英语 | 5 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
| 2 | 1 |
| 6 | 0 |
| |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
（1）求
的概率；（2）求在
的条件下，
的概率；
（3）求
的值，并求的数学期望；
（4）若
与
是相互独立的，求的值；
19、（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱
中,侧面
⊥底面
，侧棱
与底面成60°的角，
，底面是边长为2的正三角形,其重心为
点.
是线段
上一点，且
.
⑴求证:
∥侧面；
⑵求平面
与底面所成锐角二面角的大小.
20、（本小题满分12分）
已知数列{an}满足：a1＝－，
＋(an＋1＋2)an＋2an+1＋1＝0。求证：
（1）－1<an<0；
（2）a2n>a2n－1对一切n∈N＊都成立；
（3）数列{ a2n－1}为递增数列．
21、（本小题满分14分）
已知F1（－2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F1的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且 MN 的最小值为6．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当MN取最小值时，求∠AMB的大小．
22、（本小题满分12分）
设函数
（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当
时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若
时，求证：
.
座位号：
昆明一中2005—2006学年度上学期期末高三一轮复习终结测试
数学试卷（理科）答题卷 2006．1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
| 题号 | 二 | 三 | 合计 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 得分 | ||||||||
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。）
| 得分 | 评卷人 |
13 14
15 16
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
| 得分 | 评卷人 |
17、（本小题满分12分）
| 得分 | 评卷人 |
18、（本小题满分12分）
| 得分 | 评卷人 |
19、（本小题满分12分）
| 得分 | 评卷人 |
20、（本小题满分12分）
| 得分 | 评卷人 |
21、（本小题满分12分）
| 得分 | 评卷人 |
22、（本小题满分12分）
昆明一中2005—2006学年度上学期期末高三一轮复习终结测试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2006．1
一、选择题：（每小题5分，满分60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | A | C | B | B | D | A | C | A | C | A | B |
二、填空题：（每小题4分，满分16分）
13、2
14、f(n)=n2－1
15、
16、③
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、解：（I）由f(x－π)＝f(x＋π)知f(x)＝f(x＋2π)，即函数f(x)的周期为2π．
∵ f（x）＝（sinωx＋acosωx）＝sin（ωx＋j），其中sinj＝，cosj＝，
∴ ≤2π，即ω≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1．
又∵ f（x）＝f（－x），∴ f（0）＝f（），
即 （sin0＋acos0）＝（sin＋acos），解得 a＝，∴ f（x）＝sin（x＋）．
(II)显然，x∈（－，）等价于x＋∈（－，）．
令u＝x＋，f(x)＝t，g(t)＝t2＋mt＋n，则f(x)＝sinu，
由｜m｜＋｜n｜＜1得｜m＋n｜≤｜m｜＋｜n｜＜1，∴ m＋n＞－1．
同理由｜m－n｜≤｜m｜＋｜n｜＜1得m－n＜1．
∴ g(1)＝m＋n＋1＞0，g(－1)＝1－m＋n＞0．
又∵｜m｜≤｜m｜＋｜n｜＜1，∴－∈（－1，1）．
又∵Δ＝m2－4n＞0，∴ 一元二次方程t2＋mt＋n＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根．
∵ 函数y＝sinu（u∈（－，））与u＝x＋（x∈（－，））都是增函数，
∴ [f(x)]2＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根．
∴ “｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f(x)]2＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的充分条件．
令m＝，n＝，由于方程t2＋t＋＝0有两个不等的实根－，－，且－，－∈(－1，1)，
∴ 方程sin2（x＋）＋sin（x＋）＋＝0在（－，）内有两个不等的实根，
但 ｜m｜＋｜n｜＝＋＝1，
故“｜m｜＋｜n｜＜1”不是“方程[f(x)]2＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的必要条件．
综上，“｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f(x)]2＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的充分不必要条件．
18、解（1）由表知英语4分，数学3分的学生有7人，总学生数是50人，
所求概率为
；
3分
（2）的条件下，即从英语成绩在3分及3分以上的学生为总体，总体数35人，又
的学生为
人，所求概率为
； 6分
（3）
；
9分
（4）与相互独立
；又
12分
19、⑴延长
交
于
，
,
从而F为BC的中点.
---------------------------(2分)
为
的重心，
,
三点共线，且
又
侧面
，
侧面.
--------------------(6分)
⑵在侧面内，过
作
，垂足为
，
侧面
底面，
底面.
又侧棱
与底面成
的角，=2，
.
在底面内，过作
垂足为T，连
,由三垂线定理有
,
又平面与底面的交线为
,
为所求二面角的平面角
---------------------------------------(9分)
在
中，
从而平面与底面所成锐二面角的大小为
.
-------(12分)
20、那么当n＝k＋1时，ak＋1＝－(ak＋2)－＋2。
∵1<ak＋2<2，又y＝t＋在t∈(1，2)为增函数，
∴ak＋2＋∈(2，)，∴ak＋1∈(－，0)，则－1<ak＋1<0，
∴当n＝k＋1时结论成立。
由①②知对一切n∈N＊均有－1<an<0。…………………………………3分
⑵①当n＝1时，a2＝－>a1＝－成立；
②假设当n＝k时结论成立，即a2k>a2k－1，
∴1<a2k－1＋2<a2k＋2<2，
∴a2k－1＋2＋<a2k＋2＋，∴－a2k－1－>－a2k－即a2k>a2k＋1。
同上法可得a2k＋2>a2k＋1，
∴当n＝k＋1时结论成立。
由①②知对一切n∈N＊均有a2n>a2n－1成立。…………………………………6分
由⑴知当x>0时，(1＋x)n>1＋nx，故2n＋1＝(1＋1)n+1>1＋n＋1＝n＋2，
∴x0<1，∴0< x0<1。…………………………………………………………………9分
⑶∵an＋1＋an ＝－，则an＋2＋an＋1＝－。
两式相减得an＋2－an ＝－＝。
若把上式中n换成2n－1，
∴a2n+1－a2n－1＝>0，
∴数列{ a2n－1}为递增数列。……………………………………………………………12分
21、解：（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其中c＝2，a2－b2＝4．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 1分
若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x＝－2，代入＋＝1，得y2＝b2(1－)＝，
∴ y1－y2＝，即AB＝． 4分
若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y＝k(x＋2)，代入＋＝1，
得 ＋＝1，
即 (a2k2＋b2)x2＋4a2k2x＋a2(4k2－b2)＝0．
△＝(4a2k2)2－4(a2k2＋b2)a2(4k2－b2)＝4a2b2[(a2－4)k2＋b2]＝4a2b4(1＋k2)，
∴ x1－x2＝，
∴ MN＝·＝＝·＞．8分
综上，MN的最小值为．由题知 ＝6，即 b2＝3a．
代入a2－b2＝4，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1(舍)，或a＝4．∴ b2＝12．
∴ 椭圆C的方程为＋＝1． 10分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(－4，0)，B(4，0)．当MN取得最小值时，MN⊥x轴．
根据椭圆的对称性，不妨取M(－2，3)，∠AMB即直线AM到直线MB的角．
∵ AM的斜率k1＝＝，BM的斜率k2＝＝－， 12分
∴ tan∠AMB＝＝＝－8．
∵ ∠AMB∈(0，π)，∴ ∠AMB＝π－arctan8． 14分
22、解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数
，
，即
恒成立
2分
，
时，取极小值
，解得
4分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.
假设图象上存在两点
、
，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由
知两点处的切线斜率分别为
，
且
（
*）
6分
、
，
此与（*）相矛盾，故假设不成立. 8分
证明（3）
，
或
，
上是减函数，且
10分
∴在[－1，1]上，
时，
. 12分