试卷类型　A

襄樊市高三调研测试题

数　学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．

第 Ⅰ 卷(选择题，共60分)

注意事项：

1．答卷前，请考生将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷密封线内．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卷一并收回．

参考公式

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.　  若非空数集A = {x｜2a + 1≤x≤3a－5 }，B = {x｜3≤x≤22 }，则能使成立的所有a的集合是
　　A．{a｜1≤a≤9}　　　B．{a｜6≤a≤9}　　　　　C．{a｜a≤9}　　　　　 D．

2.　  不等式的解集是
　　A．{x︱x＞}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．{x︱x＜}
　　C．{x︱＜x＜1或x＞1}　　　　　　　　　　　　　 D．{x｜x＜或x＞1}

3.　  若点P(3，4)、Q(a，b)关于直线对称，则
　　A．a = 1，b =　　 B．a = 2，b = 　　　　C．a = 4，b = 3　　　　 D．a = 5，b = 2

4.　  若复数z满足和，则z的值为
　　A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　D．

5.　  已知直线m、n，平面，则的一个充分不必要条件为
　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．
　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

6.　  抛物线按向量e 平移后的焦点坐标为 (3，2)，则平移后的抛物线顶点坐标为
　　A．(4，2)　　　　　　　　　B．(2，2)　　　　　　　　　　　C．(－2，－2)　　　　　 D．(2，3)

7.　  设a、b、c∈R*，那么三个数、、
　　A．都不大于2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．都不小于2
　　C．至少有一个不大于2　　　　　　　　　　　　　　　　 D．至少有一个不小于2

8.　  某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如右表所示．电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数近似为
　　A．25，25，25，25　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．24，36，32，8
　　C．20，40，30，10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．48，72，64，16

9.　  点P在直径为的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是
　　A．　　　　　　　　　　 B．6　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

10. 已知函数在区间(，1)上有最小值，则函数在区间(1，上一定
　　A．有最小值　　　　　　 B．有最大值　　　　　　　　 C．是减函数　　　　　　 D．是增函数

A　　　　　　　　 B　　　　　　　　  C　　　　　　　　　 D

11. 已知函数f (x)的定义域为[a，b]，函数f (x)的图象如右图所示，则函数f ( x )的图象是

12. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a＋b＋c的值为
　　A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
　　C．3　　　　　　　　　　　　 D．4

第 Ⅱ 卷(非选择题，共90分)

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，用黑色签字笔直接答在答题卷每题对应的答题区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．

13. 已知e₁、e₂是两个不共线的向量，a = k²e₁ + (k)e₂和b = 2e₁ + 3e₂是两个共线向量，则实数k = 　　　　　　　 ．

14. 若…，则…
　　　　　　　　．

15. 将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如右表所示．现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共　　　　　　张．

○○○○○○○

16. 霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图)，每个灯泡均可亮出红色或黄色．现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡，且相邻两个不同时亮，则一共可呈现　　　　　　种不同的变换形式(用数字作答)．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. (本大题满分12分)
　　已知向量a，b，c = (1，0)，其中，．若a与c的夹角为，b与c的夹角为，且，求的值．

18. (本大题满分12分)
　　设一汽车在行进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：
　　(1)的概率的分布列及期望E；
　　(2)停车时最多已通过3个路口的概率．

19. (本大题满分12分)
　　如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC = 90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE = AB = 2，CD = 1，点F是AE的中点．
　　(1)求证：DF∥平面ABC；
　　(2)求AB与平面BDF所成角的大小．

20. (本大题满分12分)
　　已知数列{a_n}的各项均为正数且a₁ = 6，点在抛物线上；数列{b_n}中，点在过点(0，1)且方向向量为(1，2)的直线上．
　　(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
　　(2)对任意正整数n，不等式≤…成立，求正数a的取值范围．

21. (本大题满分12分)
　　已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点．若点B的坐标为 (2，0)，且f (x) 在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
　　(1)求c的值；
　　(2)在函数f (x)的图象上是否存在一点M(x₀，y₀)，使得f (x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
　　(3)求 AC 的取值范围．

22. (本大题满分14分)
　　如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
　　(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；
　　(2)试根据(1)中的结论猜测：椭圆 的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论．

数学(理工农医类)参考答案及评分标准

命题人：郭仁俊

说明：

　　　 1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

　　　 2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

　　　 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：BCDC　 CBDB　 DDBA

二．填空题：13．或　　14．　　15．7　　16．80

三．解答题：

17．解： a ，
　　　　　 b ，
　　　　　 c = 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　 又a·c，b·c
　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　 ∵，∴
　 ∵，∴，故
　　由，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　由，有，∴　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18．(1)解：＝0表示停车时已经通过0个路口，即在第一个路口遇到红灯，其概率为
　　　＝1表示停车时已经通过1个路口，即在第一个路口遇到绿灯，在第二个路口遇到红灯，其概率为
　　……
　　得分布列如下：




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　6分

则．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(2)解：．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1)解：取AB的中点G，连CG，FG，
　　则FG∥BE，且FG＝BE，
　　∴ FG∥CD且FG＝CD，　　　　2分
　　∴ 四边形FGCD是平行四边形，
　　∴ DF∥CG，
　　又∵ CG平面ABC，
　　∴DF∥平面ABC　　　　　　　  4分

(2)解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则
B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(1，0，1)
　　∴ (0，2，1)，(1，－2，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　设平面BDF的一个法向量为n = (2，a，b)，
　　∵ n⊥，n⊥， ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　即，解得，
　　∴n =(2，1，－2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　 又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与所成的角为，
　 ∴ ，
　 即 ，故AB与平面BDF所成的角为arcsin．　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

20．(1)解：将点代入中得
　　　即
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分
　　过点(0，1)且方向向量为(1，2)的直线为
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　(2) 对任意正整数n，不等式≤…成立
　　即a≤…对任意正整数n成立　　　　　　　　　　　　6分
　　记…
　　则　　　　8分
　　∴，即f (n)递增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　故，∴0＜a≤．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21．(1)解：
　　依题意在和[0，2]上有相反的单调性，
　　∴x = 0是f (x)的一个极值点，故，得c = 0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　(2)解：因为f (x)交x轴于点B(2，0)
　　∴，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　令得
　　因为f (x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，∴在[0，2]和[4，5]上有相反的符号
　　故2≤≤4　　Þ　－6≤≤－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　假设存在点M(x₀，y₀)使得f (x)在点M的切线斜率为3b，则f ^/ (x₀) =3b，
　　即
　　
　　而－6≤≤－3，∴△＜0
　　故不存在点M(x₀，y₀)，使得f (x)在点M的切线斜率为3b．　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　(3)解：设，依题意可令
　　
　　则即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　∴
　　∵－6≤≤－3，∴当时，；
　　当时，，故3≤ AC ≤4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22．(1)解：设M(m，0)为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，
　　设直线AB的方程为
　　将它代入得：，即　　　 2分
　　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，　　　　　　　　　　　4分
　　∵∠AMB被x轴平分，∴
　　即，Þ
　　Þ
　　∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　于是
　　∵，∴，即
　　∴M(，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　(2)解：对于椭圆，，b = 1，c = 2，∴．
　　于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点．　10分
　　证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D
　　据椭圆第二定义：，即
　　∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
　　于是，即
　　∴，又均为锐角，
　　∴，∴
　　∴MF为∠AMB的平分线，故M为椭圆的“左特征点”．　　　　　　　　　　　　　　　　 14分