试卷类型　A

襄樊市高三调研测试题

数　学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．

第 Ⅰ 卷(选择题，共60分)

注意事项：

1．答卷前，请考生将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷密封线内．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卷一并收回．

参考公式

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.　  已知集合A＝{y｜y = log₂x，x＞1}，B＝{y｜，x＞1}，则等于
　　A．{y｜0＜y＜}　　B．{y｜0＜y＜1}　　　　　 C．{y｜＜y＜1}　　D．

2.　  等差数列{a_n}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有
　　A．9项　　　　　　　　　　 B．12项　　　　　　　　　　　 C．10项　　　　　　　　　 D．13项

3.　  不等式｜x²－10｜≤3x的解集为
　　A．{x｜2≤x≤}　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．{x｜－2≤x≤5}
　　C．{x｜2≤x≤5}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．{x｜≤x≤5}

4.　  点P(2，－1)为圆 (x－1) ²＋y²＝25内弦AB中点，则直线AB的方程是
　　A．x－y－3＝0　　　　　B．2x＋y－3＝0　　　　　　C．x＋y－1＝0　　　　　D．2x－y－5＝0

5.　　椭圆上一点M到焦点F₁的距离为2，N是MF₁的中点，则 ON 等于
　　A.．2　　　　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　　　　 D．

6.　　复数与(a、b、c、dR)的积是纯虚数的充要条件是
　　A．ac－bd＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．ad＋bc＝0
　　C．ac－bd≠0且ad＋bc＝0　　　　　　　　　　　　　　D．ac－bd＝0且ad＋bc≠0

7.　  已知向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(－sin 15°，－cos 15°)，则｜a＋b｜的值为
　　A．1　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　 D．

8.　　如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北30°方向2km处， 河流沿岸PQ上任一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是
　　A．万元　　B．万元
　　C．5a万元　　　　　　　　D．6a万元

9.　　设a＞b＞c，nN^*，且≥恒成立，则n的最大值为
　　A．2　　　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．5

10. 如图所示，在两个圆盘中同时转动指针，当指针停止时落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么当指针停止时，两个指针同时落在奇数所在区域的概率是
　　A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

11. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x²，值域为{1，4}的“同族函数”共有
　  A．9个　　　　　　　　　　 B．8个　　　　　　　　　　　　 C．5个　　　　　　　　　　 D．4个

12. 已知函数f (x)＝x³＋x，且a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a＞0，则y＝f (a)＋f (b)＋f (c)的值是
　　A．正数　　　　　　　　　　B．负数　　　　　　　　　　　　C．零　　　　　　　　　　　　D．正数或负数

第 Ⅱ 卷(非选择题，共90分)

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，用黑色签字笔直接答在答题卷每题对应的答题区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．

13. (1－x＋x²)(1＋x)⁶展开式中，x³项的系数为　 ＊　　．

14. 当　　＊　　时，在[0，2]上是减函数．

15. 已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是：
　　①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是　　＊　  (写出所有正确结论的编号)．

16. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理如下图：
　　现在加密密钥为，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为　　＊　　 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. (本大题满分12分)
　　已知向量m＝(sin B，1－cos B)，且与向量n＝(1，0)所成角为，其中A、B、C是ABC的内角，求的取值范围．

18. (本大题满分12分)
　 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且N^*)．
　 (1)证明：数列{a_n＋3}是等比数列；
　 (2)数列{a_n}中是否存在三项成等差数列？若存在，请求出一组；若不存在，请说明理由．

19. (本大题满分12分)
　　在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD⊥P₁D，P₁D＝6，BC＝3，DC＝，A是P₁D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．
　  (1)求证：PA⊥平面ABCD；
　  (2)求平面PEC和平面PAD所成的二面角(锐角)的大小．　

20. (本大题满分12分)
　　某种商品在30天内的销售价格P(元)与时间t (天)的函数关系用右图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间关系的部分数据如下表．

t 5 15 20 30 Q 35 25 20 10

　　
　　(1)写出该商品的销售价格P与时间t的函数关系式；
　　(2)根据表中提供的数据确定一个近似描述日销售量Q与时间t的函数关系式；
　　(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额＝销售价格×日销售量)．

21. (本大题满分12分)
　　设f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，g(x)的图象与f (x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[2，3]时，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)³2²²²3³．
　　(1)求f (x)的解析式；
　　(2)是否存在正整数a，使f (x)的图象的最高点落在直线y＝12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

22. (本大题满分14分)
　　已知△OPQ的面积为S，且，，，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q．
　　(1)当m(1，2]时，求的最大值，并求出此时的椭圆C方程；
　　(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且，请找出之间的关系，并证明你的结论．

数学(理工农医类)参考答案及评分标准

命题人：郭仁俊

说明：

1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：ACCA　 BDAC　 CAAA

二．填空题：13．11　　14．(－∞，－3]　　15．①②④　　16．14

三．解答题：

17．解：由已知，即，　　　　　　　　　2分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　又0＜B＜， ，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　0＜A＜，　 ∴
　　，1]，　，1]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

18．解：(1)由已知，得N^*)　 ∴
　　两式相减得　
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　∴ (nN^*)
　　又　 ∴a₁＝3，a₁＋3＝6
　　故数列是首项为6，公比为2的等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)由(1)　  ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　假设中存在三项依次为(m₁＜m₂＜m₃)，它们可以构成等差数列，
　　则
　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　上式两边同除以，得　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　∵m₁、m₂、m₃N^＊，且m₁＜m₂＜m₃
　　∴①式的左边是偶数，右边是奇数　　 ∴①式不能成立
　　∴数列中不存在构成等差数列的三项　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1)证：ABPA，ABAD
AB平面PAD　　　　　　 　　　　　 2分
AB∥DC，DC平面PAD
DCPD　DCAD
PDA为二面角P－CD－B的平面角　　4分
故PDA＝45°
 PA＝AD＝3　PDA＝45°， PAAD
又PAAB ，PA平面ABCD　　　　　　6分

(2)解法一：以为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则
　　B(，0，0)，C(，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，
E(，0，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　由(1)知，0，0)是平面PAD的法向量，设平面PEC的法向量为n＝(1，y，z)，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　解得，∴n＝(1，)
　　设向量与n所成的角为，则
　　∴向量与n所成的角为30°，故平面PEC和平面PAD所成的二面角为30°．　　　　　　　　12分

解法二：延长DA，CE交于点N，连结PN
　　AE//CD　 且E为AB中点
　　∴AE＝CD　 AE为△NDC的中位线
　　∴AN＝AD＝PA　PND为Rt　　8分
　　又NE＝EC＝　PE＝
　　PNC为Rt，∴PCPN　PDPN
　　∴CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　又PD＝，CD＝，PDDC，tanCPD＝
　　∴CPD＝30°，即平面PEC和平面PAD所成二面角为30°．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

20．解：(1)根据图像，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为：
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

(2)在直角坐标系中描出实数对(t，Q)的对应点，从图像发现点(5，35)，(15，25)，(20．20)，(30．10)在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b
　　由点(5，35)、(30，10)确定l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l上．
　　∴日销售量Q与时间t的一个函数关系式为Q＝－t＋40 (0＜t≤3，t∈N＝　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(3)设日销售金额为y(元)，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分
　　若0＜t＜25(t∈N)，则当t＝10时，y_max＝900　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　若25≤t≤30(t∈N)，则当t＝25时，y_max=1 125　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
　　∴y_max=1 125。
　　∴这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大．　　　　　　　　12分

21．解：(1)当x∈[－1，0]时，2－x∈[2，3]，f (x)＝g(2－x)＝－2ax＋4x³
当x∈(0，1]时，f (x)＝f(－x)＝2ax＋4x³，
　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2) f (x)的图象的最高点落在直线y＝12上，即函数的最大值为12
　　f (x)为偶函数，故只需研究函数f (x)＝2ax－4x³在x∈(0，1]的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　令f ^/ (x)＝2a－12x²＝0，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　若∈(0，1]，即0＜a≤6，则
　　≤12
　　故此时不存在符合题意的a；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　若＞1，即a＞6，则f (x)在(0，1]上为增函数，于是．
　　令2a－4＝12，得a＝8．
　　综上，存在a＝8满足题设．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22．解：(1)以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
　　则P(m，0)，设Q(x₀，y₀)，由已知
　　∴
　　由得
　　∴　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　令，则
　　当m∈(1，2]时，f ^/ (m)＞0，∴f (m)在(1，2]上是增函数，
　　∴当m＝2时，的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
　　此时P(2，0)，椭圆另一焦点为P ^/ (－2，0)，则椭圆长轴长
　　∴，，故椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(2)方法一：当直线l与x轴重合时，M(，0)、N(，0)、D(5，0)
　　这时
　　猜想：
　　设过P(2，0)的直线方程，y＝k(x－2)
　　由得：(3＋5k²)x²－20k²x＋20k²－30＝0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　设l与椭圆的两交点为M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)
　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
　　由题意P、D分的比为
　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　∴
　　　　 
　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

方法二：由题意P、D分的比为
　　过M、N分别作准线的垂线，垂足分别为M₁、N₁
　　由定比分点的意义及椭圆的定义得：
　　
　　∴　　　　　　　　　　　　　14分