2005年江苏省启东中学高三数学
模拟试卷（二）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 若非空集合A={x
2a+1≤x≤3a-5},B={x3≤x≤22}，则能使AÍA
B成立的所有a的集合是
( )
A、{a1≤a≤9} B、{a6≤a≤9} C、{aa≤9} D、
2．1！+2·2！+3·3！+…n·n！= ( )
A、（n+1）!-1 B、（n+1）！ C、（n+1）！+1 D、（n+2）！
3．正三角形ABC中，
=
，
，
边长为1，则
( )
A、
B、
C、
D、
4．设函数
( )
A、
B、
C、
D、
5．已知：双曲线
，其右支上的一点p，F1，F2为其两焦点，则△F1F2的内切圆在x轴上的切点Q的坐标
(
)
A、（b,0）
B、（a,0）
C、（
D、不确定
6. 给出平面区域如图，若使目标函数z=x+ay (a>0)，取得最大值的最优解有无数个，则a的一个可能的取值为 （ ）
（A）1 （B）3 （C）-1 （D）-3
7．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小 ( )
A、
B、
C、
D、
8．棱锥P一ABCDEF的底面是正六边形，侧棱PA⊥面ABF，则下列命题中正确的有几个( )
①∠PDA是侧面PDC与底面所成的二面角的平面角 ②PC的长就是点P到直线CD的距离
③∠PCB是侧棱PC与底面所成的角 ④EF的长是点E到平面AFP的距离
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
9．一个单位有1000名职工，其中不到35岁的人有250人，35到49岁的人有560人，50岁以上的有190人，要从中抽取一个容量为200的样本，较为恰当的抽样方法有是( )
A、简单随机抽样 B、分层抽样 C、系统抽样 D、以上方法均可
10．直线
绕原点按顺时针方向旋转30°后，所得的直线与圆
的位置关系是
( )
A、直线过圆心 B、直线与圆相切
C、直线与圆相离 D、直线与圆相交但不过圆心
11．已知
(
)
A、至少有一实数根 B、至少有一实根 C、无实根 D、有唯一实数根
12．由等式
定义映射
( )
A、（1，2，3，4） B、（0，3，4，0） C、(-1，0，2，-2） D、（0，-3，4，-1）
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.
13．如果直线沿向量
则直线l的斜率是__________.
14．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_________ .
15．椭圆
长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰三角形，该三角形的面积是___________.
16．设函数
请写出一个满足条件的函数
.此函数的单调性是
.
三．解答题：(本大共6小题，17---21题每小题12分，第22题14分，共74分。)
17．甲乙两名篮球运动员，投篮命中率分别是0.9与0.8。
(1)如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率。
(2)如果每人投篮3次，求甲投进2球且乙投进一球的概率。(结果保留两个有效数字)
18．已知函数
。
1）当a=1时，救f(x)的单调递增区间；
2）当a<0时，且x∈[0,π]时，f (x)的值域是[3,4]，求a，b的值。
19、（本小题满分12分）正四面体A-BCD的棱长为1，
（Ⅰ）如图(1)M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；
（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E的大小；
（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD重合，问该几何体是几面体
（不需要证明），并求这几何体的体积。
 |  | ||
20、（本小题满分12分）已知函数
(Ⅰ)是否存在实数使函数
在R上是单调函数？
(Ⅱ)若x∈[0,1],函数
上任意一点切线的斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件.
21. （本小题满分12分） 已知如图, A,B为两个定当,且
=2,动点M到A点的距离是4,线段MB的垂直平分线
交MA与点P,直线k
AB,且点B到直线k的距离为3。
（1） 求证：点P到点B的距离与到直线K的距离的比为定值。
（2） 若点P到A，B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标
（3）
若
.
22.（本小题满分14分）
已知等比数列{a n}的首项为
，公比是
展开式中第二项.
（1）用n和x表示数列{a n}的通项a n；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，用n和x表示
；
（3）若g(x)=(x－1)，其导数为g/(x)，且0<x<1，求证：
<2n[
.
参考解答
1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.D 12.D
13. 
14. 512 15. 
16. 
,增函数
三．解答题：
17解：设甲乙两人投篮的事件分别为A、B，则p(A)=0.9,p(B)=0.8
1) p(A∪B)=p(A∩
)＋ p(
∩B) ＋ p(A∩B)=0.98
或p(A∪B)=1－p(∩)=0.98
2) p=C32[p(A)]2[1-p(A)]1 C31[p(B)]1[1-p(B)]2=0.023
18．解：(1) ∵a=1, ∴
＋sinx＋b=sinx＋cosx＋b＋1=
，∵y=sinx的的单调增区间为[2kπ
，2kπ
] (k∈Z)，
∴当2kπ≤x＋
≤2kπ 即2kπ－
≤x≤2kπ＋ (k∈Z)时，f (x)是增函数，所以f (x)的单调增区间是[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)
(2)：由（1）得f (x)=
＋a＋b，∵x∈[0,π]，∴≤x＋≤
∴
≤sin( x＋)≤1，又∵a<0，
a≤≤－a，
∴a ＋a＋b≤f
(x)≤b，∵f (x)的值域是[3,4]，∴a ＋a＋b=3且b=4
解得a= 1－，b=4。
19. 【解】（Ⅰ）取BD的中点，连结AN、MN，
MNAB
AMN就是异面直线AM与BC所成的角，………2分
在
AMN中，AM=AN=
，MN=
，
AMN=arccos
.…………………4分
（Ⅱ）取BE中点P，连结AP、PM，作MQ
AP于Q，
过Q作QHAB于H，连MH；
EBAP，EBPM，
EB面APM，即EBMQ，
MQ面AEB
HQ为MH在面AEB上的射影，即MHAB
MHQ就是M-AB-E的平面角，…………………6分
在AMP中，AM=AP=，PM=1，MQ=
，PQ=
；
在ABP中，AHQ=300，AQ=AP-PQ=-
，AQ=，HQ=
；
MHQ=arctan4
，…………………8分
（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD重合，
该几何体是5面体…………………10分
这斜三棱柱的体积=3VA-BCD
=3´
´
´
=
…………………12分
20.【解】(Ⅰ) ∵
∴
∴
不可能恒大于0,
若
恒成立,则a=0,故当a=0,b∈R时函数在R上是单调减函数. (4分)
(Ⅱ)当 x∈[0,1]时, 
,由题意得：
, x∈[0,1]
即对任意x∈[0,1],
等价于
,
,
,的值满足：
或 
或 
即
或
或
所以 
即｜k｜≤1的充要条件是(12分)
21.【解】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），直线k：x=4.
(1)
是MB中垂线，
，
点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，其右准线为k：
，且其离心率为
=
，故P到B的距离与到直线k距离之比为定值
。
(2) 
m=PAPB≤
=4。当且仅当PA=PB时取等号。此时m的最大值 为4，P为椭圆短轴的两个端点，坐标为P（0，
）或P（0，-）
(3)由
解得PA=5/2，PB=3/2，又AB=2在△PAB中，
=
。=
.
22. 【解】（1）由
，解得
，∴m=3，a1=
=1，而展开式第二项为
=x，∴a1=xn－1；
(2) 当x=1时，Sn=n，∴=
=
=n·2n－1；
当x≠1时，Sn=
，=
=
(
－
)=[
]
∴=
(3)当0<x<1时，g(x)=(x－1)=－，
=
∴=
=1+
①
=
=1
+
②
由①－②得，
=
，
∴=
，∴－2n[=4+
，
∵
]
=4+2n+[
]>2n+4，
∴<2n[