2005年苏州市高三教学调研测试
数 学 05.5
注意事项：
1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2、请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上。在试题卷上答题无效。
参考公式：
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
p，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设U为全集，集合A，B是其子集，则图中阴影部分表示的集合为
（A）
（B）
（C） 
（D） 
2．直线
关于点（1，0）对称的直线方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知数列
是逐项递减的等比数列，其首项
，则公比q的取值范围是 （A）
（B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，+∞）
5．“
”是“方程
表示椭圆”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．已知
，且
，则下列不等式中恒成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知
的反函数
，则方程
的根为
（A）
（B）0 （C）1
（D）2
8．已知函数
的图象和函数
的图象关于直线
对称，则a=（A）-5 （B）-3 （C）-1 （D）1
9．已知平面内有一点P及一个△ABC，若
，则点P与△ABC的位置关系是
（A）点P在线段AB上
（B）点P在线段BC上
（C）点P在线段AC上 （D）点P在△ABC外部
10．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）
11．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，准线与抛物线对称轴的交点为H，则∠AHB的取值范围是
（A） 
（B） 
（C） 
（D）
12．函数
的图象如右图所示，则
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）
（13）设函数
，则其导函数
展开式中
的系数是 ▲ ．
（14）数列的前n项和
，则
=_____▲______ ．
（15）在直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，0），且AC⊥BC，AC=2BC，则C点的横坐标为 ▲ ．
（16）已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度
（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续 _____▲______min．
.三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
(17) （本小题满分12分）
已知向量a=（
），b=（
），c=（-1，0），d=（0，1）．
（1）求证：a⊥（b+c）；
（2）设
a·（b- d），且
，求
的值域．
(18) （本小题满分12分）
某电视台游戏节目想利用若干大小、形状相同的小球设计一个摸球的抽奖游戏。游戏者要连过两关才能赢得大奖。第一关：在一个放有3个红球和7个白球的暗箱中，一次摸取三个球，若摸出的球中有红球，即可过关。第二关：在与第一关相同的暗箱中，一次摸取三个球，若摸出的三个球恰好同色，即可过关。
（1）求第一关过关的概率；
（2）求赢得大奖的概率．
(19) （本小题满分12分）
在正四棱柱
中，
，
Ｐ为BC的中点．
（1）求直线AC与平面ABP所成的角；
（2）求异面直线AC与BP所成的角；
（3）求点B到平面APC的距离．
(20) （本小题满分12分）
已知双曲线
的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，BC=6.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
(21) （本小题满分12分）
Ａ城市的出租车计价方式为：若行程不超过３千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车.
（1）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；
（2）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．
(22) （本小题满分14分）
已知函数
在区间[n，m]上为减函数，记m的最大值为m0，n的最小值为n 0，且有m0- n 0=4．
（1）求m0，n 0的值以及函数的解析式；
（2）已知等差数列{xn}的首项
，公差
．又过点
的直线方程为
试问：在数列{xn}中，哪些项满足
？
（3）若对任意
，都有
成立，求a的最小值．
2005年苏州市高三教学调研测试
数学试卷参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则。
二、对解答题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。
一、一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | A | D | B | D | D | A | C | A | A | C |
二、填空题：
（13）
（14）12 （15）
（16）4
三、解答题
（17）（1）∵
2/
3/
=
4/
∴
5/
（2）
6/
8/
=
9/
∵
11/
∴的值域为
12/
（18）（1）第一关过关有三种情况，即分别取出1个、2个和3个红球。
∴第一关过关的概率
3/
=
6/
（2）第二关过关有二种情况，即分别取出3个红球或3个白球
∴第二关过关的概率
8/
=
10/
∵要连过两关才能赢大奖，∴赢得大奖的概率
12/
（19）（1）∵AB⊥平面BC1，PC
平面BC1，∴AB⊥PC
1/
在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB 2/
∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角 3/
∵PC=
，AC=
，∴在Rt△APC中，∠CAP=300
∴直线AC与平面ABP所成的角为300 4/
（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，
∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角 6/
在△ACQ中，
∴∠CAQ=600
∴异面直线AC与BP所成的角为600 （也可用向量法） 8/
（3）过点B作BH⊥AP于H， 由题（1） PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH
∴BH⊥平面APC 10/
∴BH的长即为点B到平面APC的距离
在Rt△ABP中，AB=2，
12/
（20）（1）由题意得
轴，
1/
2/
又BC=6，
3/
∴
∴所求双曲线的方程为
4/
（2）设直线l的方程为
由
得
5/
∵l与双曲线有两个交点，故
要使△APQ成等腰直角三角形，则需AP⊥AQ，且AP=AQ
由AP⊥AQ，得
6/
即
对
且
恒成立 8/
由AP=AQ得
9/
解得
即
11/
综上所述，所求直线存在，其方程为
12/
（21）（1）设方案①的计价函数为，方案②的计价函数为
（单位：元）
则
3/
5/
（2）当
时，
6/
当
时，方案①的价格都比方案②的价格低
7/
理由如下：
当
时，
8/
10/
当
时，
11/
12/
（22）（1）
1/
由题意可知
为方程
的两根
其中
即
2/
解得
3/
4/
5/
（2）由（1）得A（0，5），B（1，-6），
6/
7/
又由题得
可解得
或
当或
时，满足题意
9/
（3）
11/
由题意，
恒成立，即
恒成立 12/
要使恒成立，只要
成立，即只要
成立
的最小值为1
14/