高三数学同步检测(十一)
第三章单元检测(A)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则
( )
A.与x0、h都有关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0、h均无关
解析 本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.
答案 B
2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是-1,则过该点的切线一定( )
A.平行于Ox轴
B.平行于Oy轴
C.平分第一、三象限
D.平分第二、四象限
分析 本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.
解 因为f(x)在点(0,0)处的导数等于-1,即切线的斜率为-1.
根据直线的点斜式方程,可得y-0=-1×(x-0),即y=-x.故它平分第二、四象限.
答案 D
3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=
gt2,g=9.8 m/s2,若v=
,那么说法正确的是( )
A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率
分析 本题考查导数的物理意义.s(t)在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.
解 s′=
∴s′t=1=g×1=g=9.8(m/s).
答案 C
4.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是（ ）
A.f(0)<0 B.f(1)>0 C.f(1)>f(0) D.f(1)<f(0)
分析 本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.
解 因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.
答案 C
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是（ ）
分析 本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.
解 函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.
答案 C
6.一点沿直线运动,若由始点起经过ts后的路程是s=t2+
,则速度为0的时刻为
s末.( )
A.0 B.2 C.3 D.1
分析 本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度.
解 s′=t-
,令s′=t-=0,得t=1.
答案 D
7.曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点为( )
A.(0,0),(1,3) B.(-1,2),(1,-2)
C.(-1,-2),(1,2) D.(-1,3),(1,3)
分析 本题主要考查导数的应用.根据与x轴平行的直线的斜率为零,构造方程f′(x)=0解得x的值,进一步求出交点的坐标即可.
解 y′=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1.
代入曲线方程得
答案 B
8.函数y=x3+
在（0，+∞)上的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.3 D.1
分析 本题主要考查应用导数求函数的最值.
解 y′=3x2-
,令y′=3x2-=0,即x2-
=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在（0,+∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在（0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.
答案 A
9.函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在（0，
)上是减函数，在（,1)上是增函数
D.在（0，)上是增函数，在（,1)上是减函数
分析 本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性
解 y′=lnx+1,当y′>0时，解得x>.
又x∈(0,1),
∴<x<1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′<0且x∈(0,1),得0<x<,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.
答案 C
10.若函数y=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A.0<b<1 B.b<1
C.b>0
D.b<
分析 本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.
解 对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.
∵函数在（0，1）内有极小值，∴极值点在（0，1）上.
令y′=3x2-3b=0,得x2=b,显然b>0,
∴x=±
.又∵x∈(0,1),
∴0<<1.∴0<b<1.
答案A
第Ⅱ卷(非选择题共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
11.函数y=ex2的导数是 .
分析 本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.
解 设y=eμ,μ=x2,
则yx′=yμ′·μx′=(eu)′·(x2)′=eμ·2x=2xex2.
答案 2xex2.
12.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.
分析 本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数
解 设场地的长为x m，则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x2+8x,x∈(0,8).
令S′=-2x+8=0,得x=4.
∵S在(0,8)上只有一个极值点,
∴它必是最值点,即Smax=16.
此题也可用配方法、均值不等式法求最值.
答案 16
13.★过原点作曲线y=2x的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 .
分析 本题考查指数函数的导数及导数的几何意义.
解 ∵y=2x,∴y′=2xln2.
设切点坐标为(x0,
),则过该切点的直线的斜率为ln2,直线的方程为y-=ln2(x-x0).
∵直线过原点,∴0-=ln2(0-x0).
∴=x0·ln2.∴x0=log2e,
即切点坐标为(log2e,e),斜率为eln2.
答案 (log2e,e) eln2.
14.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 .
分析 本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性质解决问题.
解 设φ(x)=f(x)g(x),则φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.
∴φ(x)在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.
又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴φ(x)=f(x)g(x)为奇函数.
∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.
当x<-3时,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;
当-3<x<0时,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.
同理,当0<x<3时,f(x)g(x)<0;
当x>3时,f(x)g(x)>0.
∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案 (-∞,-3)∪(0,3)
三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)过曲线y=x-ex上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.
分析 利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.
解∵y′=1-ex, 2分
又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0. 3分
∴令y′=1-ex=0,得x=0. 5分
∴切点坐标为(0,-1). 6分
∴切线方程为y=-1. 8分
16.★(本小题满分8分)已知导函数f′(x)的下列信息:
当1<x<4时,f′(x)>0;
当x>4或x<1时,f′(x)<0;
当x=4或x=1时,f′(x)=0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
分析 本题考查函数的单调性、极值与导函数的关系.
解 当1<x<4时,f′(x)>0,可知f(x)在此区间内单调递增; 2分
当x>4或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减; 4分
当x=4或x=1时,f′(x)=0,是两个极值点. 6分
综上,函数f(x)的图象的大致形状如下图所示(注:图象不唯一,只要符合题设条件即可).
8分
17.(本小题满分8分)设f(x)在x=1处连续,且
求f′(1).
分析 本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f(x)在某点连续的定义及导数的定义求解.
解 ∵f(x)在x=1处连续,∴
f(x)=f(1). 2分
又f(x)=［(x-1)·
］
=(x-1)·=0·2=0.
∴f(1)=0. 5分
根据导数的定义，得
f′(1)=
8分
18.(本小题满分10分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表达式.
分析 本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解.
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 2分
∴f′(x)=2ax+b. 3分
由条件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+c. 5分
∵方程f(x)=0有两个相等实根,
∴Δ=4-4c=0,即c=1. 8分
∴函数解析式为f(x)=x2+2x+1. 10分
19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.
(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);
(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.
分析 本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.
解 (1)解方程组
得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1). 2分
f(t)=S△ABD+S△OBD=BD·1-0=BD=(-2t3+3t-t3)=(-3t3+3t),
即f(t)=-
(t3-t)(0<t<1).
4分
(2)f′(t)=-
t2+.
6分
令f′(t)=-t2+=0,得t=
,t=-(舍去).
当0<t<时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0,)上是增函数; 8分
当<t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间(,1)上是减函数.
所以当时,f(t)有最大值f()=.
10分