高三数学同步检测(三)
第一章单元检测(A)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.★设ξ是离散型随机变量,则下列不能够成为ξ的概率分布的一组数是( )
A.0,0,0,1,0
B.0.1,0.2,0.3,0.4
C.p,1-p(其中p是实数)
D. 
(其中n是正整数)
分析 题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质：
(1)Pi≥0,i=1,2,3,…;
(2)P1+P2+…=1.
解 对于A,由于0+0+0+1+0=1,且每个数都大于或等于0,所以这组数可以作为ξ的一种概率分布；
对于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每个数都大于0,所以这组数可以作为ξ的一种概率分布；
对于C,虽然p+1-p=1,但是不能保证对任意实数p和1-p都是非负数(比如取p=-1),所以这组数不能够作为ξ的概率分布；
对于D,由于
且每个数都是非负数,所以这组数也可作为ξ的一种概率分布.
答案 C
2.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为（ ）
A.640 B.320 C.240 D.160
分析 本题考查随机抽样的概率，即从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每一个体被抽到的概率都是
解 由题意，得
=0.125.∴n=320.
答案 B
3.某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.02.若发病的牛数为ξ,则Dξ等于( )
A.0.2 B.0.196 C.0.8 D.0.812
分析 本题考查随机变量ξ服从二项分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1-p).
解 由题意可知,发病的牛数ξ服从二项分布,
即Dξ=npq=10×0.02×(1-0.02)=0.196.
答案 B
4.★利用随机抽样从含有12个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，设个体a被抽到的概率为P1,个体a没有在第二次被抽到的概率为P2,则P1与P2的大小关系是（ ）
A.P1＞P2 B.P1=P2 C.P1＜P2 D.不确定
解析 由简单随机抽样的定义可知，个体a被抽到的概率是P1=
=
.
由等可能性事件的概率可知，个体a第二次未被抽到的概率是
P2=
.
∴P1＞P2.
答案 A
5.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为
,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为( )
A.0.008 1 B.0.072 9 C.0.052 5 D.0.009 2
分析 本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.
解 对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1=0.9.
根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=
(0.1)3(0.9)2=0.008 1.
答案 A
6.★某人从湖中打了一网鱼,共m条,做上记号,再放入湖中,数日后又打了一网鱼,共n条,其中k条有记号,估计湖中有鱼 条.( )
A.
B.m·
C.m·
D.无法估计
分析 本题考查用样本的频率分布估计总体的分布.
解 设估计湖中有x条鱼.
由题意可知
=,所以x=
,
即估计湖中有条鱼.
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | a |
|
| b |
答案 B
7.已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=
,ξ的分布列如下:
则a的值为 ( )
A.0
B.
C.
D.
解析 由题意可知
解得a=.
答案 C
8.统计某校400名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如右图,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则及格率和优秀生人数分别是( )
A.20%,380 B.80%,380
C.30%,270 D.80%,80
解析 及格率为(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8=80%;
优秀生人数为400(0.01+0.01)×10=80.
答案 D
9.袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数为ξ,则Eξ等于( )
A.4 B.5 C.4.5 D.4.75
分析 本题考查离散型随机变量ξ的数学期望.解题关键是找到ξi与Pi的对应值.
解 由题意,知ξ取3,4,5.它取每一个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即
P(ξ=3)=
=,
P(ξ=4)=
=
,
P(ξ=5)=
=
,
∴Eξ=3×+4×+5×=4.5.
答案 C
10.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样方法进行,则每人入选的概率 ( )
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等,且为
D.都相等,且为
分析 本题考查抽样过程中每个个体被抽取的概率问题.
解 从2 004名学生总体中剔除4个个体,每名学生不被剔除的概率是
,对于留在总体中的2 000个个体,按系统抽样时,每个个体被抽取的概率是
,由概率乘法公式可知每个个体被抽取的概率p=×=
=.
答案 C
第Ⅱ卷(非选择题共60分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
11.★已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需用一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为 .
分析 本题考查无放回地抽取个体时,每个个体被抽取的概率问题.搞清使用的概率模型是解题的关键.
解 设无放回地直到第3次取出卡口灯泡记为事件A,则P(A)=×
×
=
.
答案
12.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是 .
分析 本小题主要考查系统抽样的概念与方法.
解 由题设知,若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.
答案 63
13.某街头小摊,在不下雨的日子可赚到100元,在下雨天则要损失10元.若该地区每年下雨的日子约为130天,则此小摊每天获利的期望值是 (每年按365天计算).
分析 本题考查离散型随机变量ξ的数学期望在实际生活中的应用.
解 由题意可知变量ξ的取值分别为-10,100.
∵ξ=-10的概率P(ξ=-10)=
,
ξ=100的概率P(ξ=100)=
,
∴Eξ=-10×+100×≈60.82.
答案 60.82
14.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，则时速在［50，60）的汽车大约有 辆.
解析 由公式频率=
可知，时速在［50,60)的汽车的辆数，即它的频数为200×0.3=60.
答案 60
三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分8分)100件产品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,求取得不合格品件数x的分布列.
解 x可能取的值为0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件,连续取三次,所以这相当于做3次独立重复试验,一次抽取到不合格品的概率p=0.03. 2分
因此P(x=0)=
·0.030·(1-0.03)3=0.912
673,
P(x=1)=
·0.031·(1-0.03)2=0.084 681,
P(x=2)=
·0.032·(1-0.03)1=0.002 619,
P(x=3)=
·0.033·(1-0.03)0=0.000
027.
6分
分布列为
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.912 673 | 0.084 681 | 0.002 619 | 0.000 027 |
8分
16.(本小题满分8分)有同一型号的汽车100辆.为了了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况,现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程试验,得到如下样本数据(单位:km):13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.
(1)根据所给分组情况,完成频率分布表;
| 分组 | 频数 | 频率 |
| ［12.45,12.95） | ||
| ［12.95,13.45） | ||
| ［13.45,13.95） | ||
| ［13.95,14.45） | ||
| 合计 | 10 | 1.0 |
(2)根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直方图,并根据样本估计总体数据落在区间［12.95,13.95）的概率为 ;
(3)根据样本,对总体进行估计.
解(1)频率分布表:
| 分组 | 频数 | 频率 |
| ［12.45,12.95） | 2 | 0.2 |
| ［12.95,13.45） | 3 | 0.3 |
| ［13.45,13.95） | 4 | 0.4 |
| ［13.95,14.45） | 1 | 0.1 |
| 合计 | 10 | 1.0 |
3分
(2)频率分布直方图:
估计总体数据落在区间［12.95,13.95）的概率为0.7. 6分
(3) 
因此,对总体的期望值进行估计约为13.4. 8分
17.★(本小题满分8分)某企业招聘250人,按成绩从高分到低分依次录取.结果有1 000人参加了考试.小王也参加了考试,他听说90分以上就有36人,60分以下有115人,他考了76分,判断小王能否被录取.
分析 不妨假设考试成绩成正态分布.利用正态分布性质建立正态分布模型解题.
解 按此次考试成绩ξ服从正态分布来考虑,
即90分以上的人数比为
=0.036.
F(90)=1-0.036=0.964,F(60)=
=0.115. 2分
∴Φ(
)=0.964且Φ(
)=1-Φ(
)=0.115.
查表得
.解得
6分
方法一:设录取最低分为t,则F(t)=Φ(
)=0.75.
查表得=0.67,t=78.7(分),
故最低分为79分.
方法二:小王得分为76分,则Φ(
)=0.655.
小王的名次是1 000×(1-0.655)=345(名).
故小王不能被录取. 8分
18.★(本小题满分10分)在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是
.
(1)求汽油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及Eξ(要求:结果用分数表示).
分析 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望以及利用概率知识解决问题的能力.
解 (1)命中的概率是,则未命中的概率是.汽油罐未引爆,即是5发子弹只命中1次或5次均未命中,则所求概率为
P=1-
··()4-()5=
. 4分
(2)P(ξ=2)=()2=
;
P(ξ=3)=
· ()2=
;
P(ξ=4)=()2()2=
;
P(ξ=5)=
()3()2=
.
7分
则ξ的分布列为
| ξ | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
8分
Eξ=2×+3×+4×+5×=
.
10分
19.★(本小题满分10分)若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(单位：cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高？(下列数据供计算时使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)
分析 本题考查正态分布在现实生活中的应用.它是一道已知正态分布函数的值域,而求其自变量范围的题目.解题的关键是找出正确的函数表达式,运用标准正态分布表,求变量的范围.
解 设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,
则根据题意可知P(ξ≥x)＜1%. 3分
∵ξ~N(175,62),∴P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ(
)＜0.01.
6分
化简,得Φ()＞0.99,
查表可知＞2.33,解得x＞188.98,
9分
即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高. 10分