绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量
，
是不平行于
轴的单位向量，且
，则
A．（
） B．（
） C．（
） D．（
）
2.若互不相等的实数
成等差数列，
成等比数列，且
，则
A．4 B．2 C．－2 D．－4
3.若
的内角
满足
，则
A.
B．
C．
D．
4．设
，则
的定义域为
A．
B．
C．
D．
5．在
的展开式中，的幂的指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
6．关于直线
与平面
，有以下四个命题：
①若
且
，则
；
②若
且
，则
；
③若
且，则；
④若
且，则；
其中真命题的序号是
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
7．设过点
的直线分别与轴的正半轴和
轴的正半轴交于
两点，点
与点
关于轴对称，
为坐标原点，若
且
，则点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
8．有限集合
中元素的个数记做
，设都为有限集合，给出下列命题：
①
的充要条件是
；
②
的充要条件是
；
③
的充要条件是；
④
的充要条件是
；
其中真命题的序号是
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
9．已知平面区域D由以
为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点
可使目标函数
取得最小值，则
A．－2 B．－1 C．1 D．4
10．关于的方程
，给出下列四个命题：
①存在实数
，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
11．设
为实数，且
，则
。
12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01）
13．已知直线
与圆
相切，则
的值为
。
14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）
15．将杨辉三角中的每一个数
都换成
，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出
，其中
。令
，则
。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
设函数
，其中向量
，
，
，
。
（Ⅰ）、求函数
的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数的图像按向量
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
17．（本小题满分13分）
已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前n项和为
，点
均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设
，
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m；
18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体
中，是侧棱
上的一点，
。
（Ⅰ）、试确定
，使直线
与平面
所成角的正切值为
；
（Ⅱ）、在线段
上是否存在一个定点，使得对任意的，
在平面
上的射影垂直于，并证明尼的结论。
20．（本小题满分10分）
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 | 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 | 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 | 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 | 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 | 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 | 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 | 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 | 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 | 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 | 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 |
21．（本小题满分14分）
设分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线
分别与椭圆相交于异于的点
，证明点
在以
为直径的圆内。
（此题不要求在答题卡上画图）
22．（本小题满分14分）
设
是函数
的一个极值点。
（Ⅰ）、求与
的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）、设
，
。若存在
使得
成立，求的取值范围。