2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文史（北京卷）

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数　 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合A=，B=，则AB等于

(A) 　　　　　　(B)

(C) 　　　　　　　 (D)

(2)函数y=1+cosx的图象

　 （A）关于x轴对称　　　　　　（B）关于y轴对称

　 （C）关于原点对称　　　　　　（D）关于直线x=对称

（3）若a与b-c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a(b-c)”的

　 （A）充分而不必要条件　　　　（B）必要而不充分条件

　 （C）充分必要条件　　　　　　 (D) 既不充分也不必要条件

（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有

（A）36个　　　　　　　　　 （B）24个

（C）18个　　　　　　　　　 （D）6个

（5）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是

（A）(1，+)　　　　　　　 （B）(-,3)

(C)　　　　　　　　　 (D)(1,3)

(6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么

（A）b=3,ac=9　　　　　　　 (B)b=-3,ac=9

(C)b=3,ac=-9　　　　　　　　(D)b=-3,ac=-9

(7)设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面

（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

 (C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

 (D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC

 (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x_{1`</sub>x<sub>2`}x₃，分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则

　 （A）x₁＞x₂＞x₃

　 （B）x₁＞x₃＞x₂

　 （C）x₂＞x₃＞x₁

　 （D）x₃＞x₂＞x₁

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数　 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号	二	三						总 分
		15	16	17	18	19	20
分数

得分	评卷人

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于　　　　　　　  。

（10）在的展开式中，x³的系数是　　　　　　　　  .（用数字作答）

（11）已知函数的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于

　　　　　　　　　　　 .

（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 .

（13）在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c=　　　　　　 , B的大小是　　　　　　　 .

(14) 已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于____________,最大值等于______________.

三、解答题:本大题共6小,共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分	评卷人

 (15)（本小题共12分）
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域；

(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.

得分	评卷人

（18）（本小题共13分）

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：

(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

得分	评卷人

（20）（本小题共14分）

设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n.

(Ⅰ)若a₁₁=0,S₁₄=98,求数列｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列｛a_n｝的通项公式.

答案:

三、解答题(本大题共6小题，共80分)
(15)(共12分)
解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),
　　　故f(x)的定义域为｛xx≠kπ+,k∈Z｝.
　　(Ⅱ)因为tanα=,且α是第四象限的角,
　　　所以sinα=,cosα=,

故f(α)=

　　　=

　　　=

　　　=.

(16)(共13分)

解法一：

(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0.
在(2,+∝)上 (x)＞0.

故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x₀=1.
(Ⅱ) (x)=3ax²+2bx+c,
由(1)=0, (2)=0,　 f(1)=5,
得

解得a=2,b=－9,c=12.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m,
又(x)=3ax²+2bx+c,
所以a=,b=

f(x)=

由f(l)=5,
即

得m=6.
所以a=2,b=－9,c=12.

（18）（共13分）

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，

则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.

(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

  p₁=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)

　　=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27

=0.75.

(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

  p₂=P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C)

　　=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)

=×1.29

=0.43

(19)(共14分)

解法一：

(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,

  所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.

　 已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

　 从而可设直线l的方程为

　 y=k(x+2)+1,

　 代入椭圆C的方程得

  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

　 因为A，B关于点M对称.

　 所以

　 解得，

　 所以直线l的方程为

　 即8x-9y+25=0.

　 (经检验，所求直线方程符合题意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

　 设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①－②得

　　　　 　　　　　　 ③

因为A、B关于点M对称，

所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），

即8x－9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意.)

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由S₁₄=98得2a₁+13d=14,

又a₁₁=a₁+10d=0,

故解得d=－2,a₁=20.

因此，{a_n}的通项公式是a_n=22－2n,n=1,2,3…

（Ⅱ）由得

 

即

由①+②得－7d＜11。

即d＞－。

由①+③得13d≤－1

即d≤－

于是－＜d≤－

又d∈Z,故

d=－1

将④代入①②得10＜a₁≤12.

又a₁∈Z,故a₁=11或a₁=12.

所以，所有可能的数列{a_n}的通项公式是

a_n=12-n和a_n=13-n,n=1,2,3,…