绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工类）
本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，第 I卷 1 至2 页,第 II卷 3 至 9 页， 共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题共 40 分）
注意事项：
1． 答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。
（1）在复平面内，复数
对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为
（A）36 个 （B）24 个
（C）18 个 （D）6 个
（4）平面
的斜线 AB 交
于点 B，过定点 A 的动直线
与 AB 垂直，且交
于点 C，则动 点 C 的轨迹是
（A）一条直线 （B）一个圆
（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支
（5）已知
是
上的增函数，那么 a 的取值范
围是
（A）（0，1） （B）（0，
）
（C）
,
（D）
（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意
,
(
).
恒成立”的只有
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设
,则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、
C 的机动车辆数如图所示，图中
分别表示该时段单位时间通过路段 
,
的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
（A） 
（B） 
（C）
（D）
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2006 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（文史类）
第 II 卷（共 110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。把答
案填在题中横线上。
(9）
的值等于
.
(10）在
的展开式中, 
的系数是.（用数字作答）
(11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab
0)共线，则,
的值等于
(12）在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是
(13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件
点O为坐标原点，那么PO 的最小值
等于,最大值等于.
（14）已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为.
. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共 12 分）
已知函数
.
（Ⅰ）求
的定义域；
（Ⅱ）设的第四象限的角，且
，求
的值
（16）（本小题共 13 分）
已知函数
在点
处取得极大值5，其导函数
的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（Ⅰ）的值； （Ⅱ）a，b，c 的值.
(17）（本小题共 14 分）
如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且
PA=PB，点 E 是 PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB//平面 AEC；
（Ⅲ）求二面角 E—AC—B 的大小.
（18）（本小题共 13 分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考
试是否及格相互之间没有影响. 求：
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
（19）（本小题共 14 分）
已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件PM －PN =
，记动点 P的轨
迹为 W.
（Ⅰ）求 W 的方程；
（Ⅱ）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求
、
的最小值.
（20）（本小题共 14 分）
在数列
中，若 a1，a2 是正整数，且
,
3，4，5，…，则称
为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，
,
，数列
满足
n=1，2，3，…，分虽判断当
时, 与
的极限是否存在，如果存在，求出其极
限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
数学（理工类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D （2）C （3）B （4）A
（5）C （6）A （7）D （8）C
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9）
（10）－14 （11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 12 分）
解：（Ⅰ）由 
得
，
故在定义域为
（Ⅱ）因为
，且是第四象限的角,
所以
故
.
（16）（共 13 分）
解法一：
（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上
,在(1,2)上
,在
上, 故在
,上递增,在(1,2)上递减,因此在
处取得极大值,所以
.
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设
又
所以
由
,
即
得
,
所以
.
（17）（共 17 分）
解法一：
（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC，AC
平面ABCD，
∴AC⊥PB.
（Ⅱ）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.
∵ABCD 是平行四边形，
∴O 是 BD 的中点
又 E 是 PD 的中点
∴EO∥PB.
又 PB
平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC.
（Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为
,
=
.
又
是二面角
的平面角
二面角E-AC-B的大小为
.
（18）（共 13 分）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，
则
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率
应聘者用方案二考试通过的概率
.
（Ⅱ）因为
,所以
故
,
即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.
(19）（共 14 分）
解法一：
（Ⅰ）由PM－PN=知动点 P 的轨迹是以 
为焦点的双曲线的右支，实
半轴长
又半焦距 c=2，故虚半轴长
所以 W 的方程为
,
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为
, 
当 AB⊥x轴时,
从而
从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为
,与W的方程联立,消去y得
故
所以 
.
又因为
,所以
,从而
综上,当AB⊥
轴时, 
取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则
令
则
且
所以
当且仅当
,即
时”
”成立.
所以、的最小值是2.
（20）（共 14 分）
（Ⅰ）解：
,
（答案不惟一）
（Ⅱ）解：因为在绝对差数列
中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限
不存在.
当
时, 
,所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下
假设中没有零项，由于
,所以对于任意的n，都有
,从而
当
时, 
;
当
时, 
即的值要么比
至少小1，要么比
至少小1.
令
则
由于
是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项
，这与
()
矛盾. 从而必有零项.
若第一次出现的零项为第
项，记
，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，
, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.