2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（2）—《数列与极限》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．在等比数列
中，a1+a2=2，a3+a4=50，则公比q的值为 （ ）
A．25 B．5 C．－5 D．±5
2．已知等差数列{an}中，a6=a3＋a8=5，则a9的值是 （ ）
A．5 B． 15 C．20 D．25
3．给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列, 则一元二次方程bx2－2ax+c=0 （ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的相异的实数根 D．有两个异号的相异的实数根
4．等差数列
的前n项和记为
，若
为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设数列
为等差数列，且
等于
（ ）
A．501 B．±501 C．
D．±
6．已知等差数列的前n项和为Sn，若m>1，且
，则m等于 （ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
7．设等比数列的前n项和为Sn，若
，则
（ ）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
8．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
为
的一次函数，
为不等于1的常量，且
, 设
，则数列为 （ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列
10．已知
,则
的值为
（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．不存在
11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
12．已知
的值为 （ ）
A．－4 B．8 C．0 D．不存在
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．已知等比数列及等差数列
，其中
，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.
14．设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，求数列{an}的通项公式__________________.
15．设
，利用课本中推导等差数列前n项和方法，求
…
的值为______ ___.
16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖____________块.
（理）已知
，把数列
的各项排成三角形状；
……
记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）= .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
17．（本小题满分12分）已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．
（1）试问第2004个1为该数列的第几项？
（2）求a2004；
（3）S2004；
（4）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在,求出m的值；如果不存在,说明理由．
18．（本小题满分12分）如图，曲线
上的点
与x轴的正半轴上的点
及原点
构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形
的边长为
,n∈N﹡(记
为),
.
（1）求
的值;
（2）求数列{}的通项公式;
（3）求证:当
时, 有
.
19．（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
（Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
20．（本小题满分12分）已知数列的前
项的“均倒数”为
，
（1）求的通项公式；
（2）设
，试判断并说明
的符号；
（3）（理）设函数
，是否存在最大的实数
，当
时，对
于一切自然数，都有
。
（文）已知
，数列
的前项为
，求
的值。
21．（本小题满分12分）若Sn和Tn分别表示数列{
和
的前项和，对任意正整数
， Tn－3Sn=4.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线
的斜率为
.且与曲线
有且仅一个交点，与
轴交于Dn，记
求
；
（Ⅲ）若
22．（本小题满分14分）已知数列
中，
且点
在直线
上.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若函数
求函数
的最小值；
（3）设
表示数列
的前项和。试问：是否存在关于的整式
，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？若
存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
参 考 答 案
（二）
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B
提示（9）B 
……
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13). 978；
(14). 
（n∈N*）；(15).5；(16).（文）
（理）2·
提示13。设的公比为q，由题知：
解得
则
，
．这个新数列的前10项之和为
14. 由已知a2－a1= －2，a3－a2= －1，－1－(－2)=1
∴an+1－an=( a2－a1)+(n－1)·1=n－3
n≥2时，an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)+a1
=(n－4)+(n－5)
+…+(－1)+(－2)+6=
n=1也合适
∴（n∈N*）
15. 
设
……
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17. 解：将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；
为第k对，共1+（2k-1） =2k项；…．故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1)．
…………2分
（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，
即为2003(2003+1)+1=（项）． …………4分
（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3．…7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+3×1959=5922． …………9分
（Ⅳ）前k对所在全部项的和为 Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．
易得，S25(25+1)=3×252+25=1900，S26(26+1)=3×262+26=2054，S651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．…………12分
18. 解 （1）由条件可得
,代入曲线得
;
…………5分
(2) 
∴点
代入曲线并整理得
,
于是当
时,
即
…………10分
又当
,故
所以数列{}是首项为
、公差为的等差数列, 
;…………12分
19．解：设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；
设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。
方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋
=63000元；……6分
(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：
Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋
=500n2＋500n
T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋
=600n2＋300n …………10分
令T2n≥Sn即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。 …………12分
20. 解：（1）
，
两式相减，得 
，
……4分
（2）
，
。
…………8分
（3）（理）由（2）知 
是数列
中的最小项，
∵时，对于一切自然数，都有，即
，
∴
，即
，解之，得 
，
∴取 
。
………………12分
（文）
，
当
时，
，
；当
时，
；
当
时，。综上得，
………………12分
21．解：（I）
……2分 当
当
……4分
（II）设
由
由于仅有一个公共点.
（III）
…10分
22．（本小题满分14分）
