2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（13）—《数形结合思想》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．已知集合P={ 0,
m},Q={x│
},若P∩Q≠
,则m等于 （ ）
A．1 B．2
C．1或
D．1或2
2．使得点
到点
的距离为1的
的一个值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．将函数
的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x轴的对称变换，得到
的图象，则
可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是
（ ）
A. B. C. D.
5．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）
A．
B．2 C．3 D．4
6．已知z∈C，满足不等式
的点Z的集合用阴影表示为 （ ）
A． B． C． D．
7．直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线y＝n（n＝0，
1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）
A．25个 B．36个 C．100个 D．225个
8．方程
所对应的曲线图形是 （ ）
A． B． C． D．
9．设0＜x＜π，则函数
的最小值是
（ ）
A．3 B．2 C．
D．2-
10．四面体
的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
11．若直线
与曲线
有两个不同的交点，则
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
或
12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利
润
（单位：万元）与年数
满足如图的二次函数关系。
要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ ）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．若复数z满足
的最小值是___________.
14．已知偶函数
的图象与
轴有五个公共点，那么方程
的所有实根之和为
_______.
15．若z=
满足约束条件
，则Z的最大值和最小值分别为
．
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数函数，并给出下列说法
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2, 6m2所需的时间分别
为t1, t2, t3, 则有t1 + t2 = t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度
等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上)
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
17．（本小题满分12分）已知函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象.
（I）求函数g(x)的表达式;
（II）证明当
时，经过函数g(x)图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.
18．（本小题满分12分）如图所示，已知四面体O－ABC中， M 为BC的中点，N为AC
的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PM⊥QN.
19．（本小题满分12分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测。已知AB=15km，观测站B的观测半径为5km.
观测时刻t（分钟） | 跟踪观测点到放归点距离a（km） | 鲸位于跟踪观测点正北方向的距离b（km） |
| 10 | 1 | 1 |
| 20 | 2 |
|
| 30 | 3 |
|
| 40 | 4 | 2 |
（I）根据表中数据：（1）计算鲸沿海岸线方向运动的速度，（2）写出a、b满足的关系式
并画出鲸的运动路线简图；
（II）若鲸继续以（I）－（2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），
可进入前方观测站B的观测范围。
20．（本小题满分12分）如图所示，已知圆
为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
的轨迹为 曲线E.
（I）求曲线E的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），
且满足
，求
的取值范围.
21．（本小题满分12分）在
平面上有一系列点
对每个自然数
,点
位于函数
的图象上．以点为圆心的⊙
与轴都相切，且⊙与⊙
又彼此外切．若
,且
．
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）设⊙的面积为
，
, 求证：
22．（本小题满分14分） 已知a＞1，数列
的通项公式是
，前n项和记作
（n＝1，2，…），规定
．函数
在
处和每个区间（
，
）（i＝0，1，2，…）上有定义，且
，
（i＝1，2，…）．当
（，
）时，f（x）的图像完全落在连结点
（，
）与点
（，
）的线段上．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设f（x）的图像与坐标轴及直线l：
（n＝1，2，…）围成的图形面积为
，
求及
；
（Ⅲ）若存在正整数n，使得
，求a的取值范围．
参考答案
（十三）
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).D (2).C(3).C (4).A(5).B(6).C (7).D (8).D (9).C (10).B (11).A (12).C
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13).1 ； (14).0； (15). 17和－11 ；(16). ①②④
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17. 解：（I）
……3分
……6分
（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当
时是增函数
在
即
的每一个区间上是增函数 ……9分
当
时，
在
是增函数 ……10分
则当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。
……12分
证明二：设函数g(x)图像上任意两点
不妨设
…11分
则当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。
18. 证明 ∵M是BC的中点，连结OM， ∴
=
（
+
）。
同理由N是AC的中点，得
=（
+）。
∵
=
+=（
++）
=（－+）=（
+），
=
+=（
++）=（－+）
=（
+）=（－）。
∴·=（+）·（－）=
（
－
）。
∵=，∴·=0，即PM⊥QN。
19.解：（I）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为
（km/分钟）。
（2）a、b满足的关系式为
。
鲸的运动路线图为
（II）以点A为坐标原点，海岸线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位
置为点P（x，y），由（I）知
。
又B（15，0），依题意知，观测站B的观测区域为
，
又，∴
，
即
。 ∴
。
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为
分钟。
答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。
20. 解：（I）
∴NP为AM的垂直平分线，∴NA=NM.
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为
焦距2c=2. 
∴曲线E的方程为
（II）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设
，
又当直线GH斜率不存在，方程为
21. 解：（1）依题意，⊙的半径
，
⊙与⊙彼此外切，
两边平方，化简得 
,
即
, 
，
，
∴ 数列是等差数列．
(2) 由题设，
，∴
，即
，
，
＝
＝
．
22. 解：（1）f（x）的定义域是
，
由于所有的
都是正数，故是单调递增的．
∵
∴f（x）的定义域是
（Ⅱ）∵ 
（i＝1，2，…）与i无关．
∴ 所有的
，
，
…共线，
该直线过点（a，a），斜率为1-a， ∴ 
．
当n≥2时，是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是
于是
故
（Ⅲ）解法一：结合图像，易见
即a≥2时，
，
而
，即a＜2时，
故当1＜a＜2时，存在正整数n，使得
解法二：假设存在正整数n，使得，
则应有
∵ 
， ∴ 
∴ 1＜a＜2时，存在正整数n，使得
成立