上学期高三第一轮复习数学：探索性问题（附答案）

2004－2005学年度上学期

高中学生学科素质训练

高三数学同步测试（15）—《探索性问题》

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}，f是A到B的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．6个　　　　　　　　　B．7个 　　　　　　　　　C．8个 　　　　　　　　　 D．9个

2．在△ABC中，sinA>sinB是A>B成立的　　　　　 　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．充分非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要非充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

3．直线与椭圆相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．1个　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　C．3个　 　　　　　　　　D．4个

4．设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　 B．　 　　　　　　　　C．　　 　　　　　　 D．

5．PQ是异面直线a，b的公垂线，a^b，AÎa，BÎb，C在线段PQ上（异于P,Q），则DABC

　 的形状是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 （　　）

A．锐角三角形 　　　B．直角三角形　　　　C．钝角三角形　　　 D．三角形不定

6．用一张钢板制作一容积为的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．2×5 　　　　　　　　 B．2×5.5 　　　　　　　C．2×6.1　 　　　　　　D．3×5

7．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）₂表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰=13，那么将二进制数（11…11）₂（2004个1）转换成十进制形式是 （　　）

A．2²⁰⁰⁴－2　　　　　　 B．2²⁰⁰³－2　　　　　　 C．2²⁰⁰⁴－1　　　　　　　D．2²⁰⁰³－1

8．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．42　　　　　　　　　　　B．45　　　　　　　　　　 C．48 　　　　　　　　　　 D．51

9．在(1+x)²+(1+x)⁶+(1+x)⁷的展开式中，含x⁴项的系数是等差数列a_n=3n－10的　 （ 　 ）

A．第2项　　　　　　　 B．第11项　　　　　　 C．第20项　　　　　　　D．第24项

10．已知集合A={xx²－2x－3>0},B={xx²+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4则有（　　）

A．a=3,b=4　　　　　　　B．a=3,b=－4　　　　　C．a=－3,b=4　　　　　　D．a=－3,b=－4

11．不等式<2x+a(a>0)的解集是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 （　　）

A．{xx>0或x< －a}　　　　　　　　　　　　　B．{x －<x<a}　  

C．{x0<x≤a}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．{x－a≤x< －a或0<x≤a}

12．椭圆的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A₁点的平面B₁A₂B₂上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．30° 　　　　　　　　 B．45° 　　　　　　　　 C．60°　　　　　　　　　　D．75°

二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13．已知定点A(－2，),F是椭圆+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，则当AM+

2MF取最小值时，点M的坐标是　　　　　　　　　　　　　.

14．若(x²－)ⁿ的 展开式中含x的项为第6项，设(1－x+2x²)ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ,则a₁+a₂+a₃+…+a_2n=　　　　　　　　 .

15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ .

16．定义集合A和B的运算：. 试写出含有集合运算符号“”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个等式：_______________.

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

17．（本小题满分12分）已知函数，且

　 （1）求的值；

　 （2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为.若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．

（1）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)；

（2）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）已知奇函数的定义域为全体实数，且当时，，问是否存在这样的实数，使得对所有的均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由.

20．（本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且b,a,c成等差数列，b≥c，已知B(－1,0),C(1,0)。

　 （1）求顶点A的轨迹L；

　 （2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且PQ恰好等于

原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

　 （1）证明PA⊥平面ABCD；

　 （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

　 （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

22．（本小题满分14分）已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=，是否存在这样的数列{b_n}，b_n=，其中A、B、C为实常数，使得{b_n}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{a_n}的取值范围.

参 考 答 案

（十五）

一、选择题（每小题5分，共60分）：

(1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C

二、填空题（每小题4分，共16分）

(13). (2,) ；　　　 (14). 255；

 (15). 3　　当n为偶数时，；当n为奇数时，　

(16).；；

；…

三、解答题（共74分，按步骤得分）

17.解：（1）∵，∴，即，

∵，∴

　 （2），　

　　　当，即时，

　　当时，∵，∴这样的不存在。

　 当，即时，，这样的不存在。

　　综上得， .

18. 解：（1）∵　f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)

＝ｘ³－（a+b +ｃ)x²＋(ab+bc+ac)x－abc　　　　　

　f ′(x)=3 x²－2(a+b +ｃ)x＋(ab+bc+ac)

=[ x²－ (a+b)x＋ab]＋[ x²－(a+c)x＋ac]＋[ x²－(b+c)x＋bc]

=(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)．

（2）∵f(x)是R上的单调函数，∴f ′(x)≥0，对x∈R恒成立，

即　　 3x²－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0 对x∈R恒成立．

∴△≤0,　4(a+b+c)²－12(ab+bc+ca) ≤0，

 ∴ (a－b)²＋(a－c）²＋ (b－c)²≤0，∴ a=b=c．

∴　　 f(x)=(x－a)³ ， ∴f(x)关于点(a，0)对称．　　

证明如下：设点P(x，y)是　f(x)=(x－a)³图像上的任意一点，y=(x－a)³，

点P关于点(a，0)对称的点P′(2a－x，－y)，

∵(2a－x－a)³=(2a－x)³= －(x－2a)³=－y ，

∴点P′在函数f(x)=(x－a)³的图像上，即函数f(x)=(x－a)³关于点(a，0)对称．

19. 解：因为在R上为奇函数，又在上是增函数

所以在R上也是增函数，且　　　　 

因为

所以

故

要使不等式对任意恒成立，只要大于函数的最大值即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令，则求函数的最大值，

方法1（求导）

解得：，因

当，时，；当时，

故 ，因此　　　　 

方法2（判别式）把函数变形为

 设，即在上有解

当时，必须且，矛盾；

当时，或

　　 或或　此时；

当时，必须且，矛盾；

方法3（不等式）

　，此时　　　　　

20. 解：（1）由题设知b+c=2a，BC=2, ∴AB+AC=b+c=2a=2BC=4,又b≥c，

故由椭圆的定义知，点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点），

轨迹方程为：+=1（－2<x≤0）。

（2）假设存在直线m满足题意，

①当m斜率存在时，设m的方程为y=k(x+1)，把它代入椭圆方程，

消去y得(4k²+3)x²+8k²x－12+4k²=0。

设P(x₁,y₁)Q(x₂,y₂)，则x₁+x₂= －，x₁·x₂=，

又∵x₁≤0,x₂≤0，即x₁x₂≥0, ∴k²≥3，∴

PQ==

设原点O到直线m的距离为d，则d=,

∵PQ=,∴=，得k²=<3，

这与k²≥3矛盾，表明直线m不存在。

②当斜率不存在时，m的方程为x= －1，此时PQ=y₁－y₂=3,d=1，PQ≠，

所以不满足题设。综上，满足题设的条件不存在。

21.证明：　因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，　在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²　 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解　作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

从而　　

（Ⅲ）解法一　以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

　　　 令 　得

解得　　　即 时，

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又　BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

解法二　当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

证法一　取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.　①

由　 知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

所以　BM//OE.　②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又　BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

证法二

因为　

　　　　 

所以　、、共面.

又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

22.解：假设这样的{b_n}存在，则应有

b_n+1===　　  b_n=

存在q≠0,q≠1,q为常数，使b_n+1=qb_n,对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有

由（1）可解得A=－1或－2，由（2）、（3）可解得B=－C或C=－2B。

1°若代入（2）知q=1（B、C不能为0，否则b_n=0，不合题意要求）舍去。

2°若代入（2）得q=

3°当时，q=

4°当时，q=1（舍去）

故现只取A=－1，B=1，C=－2，q=（不必考虑时的情况，因为只证存在性）。

得b_n=

所以满足题设条件的数列存在.