2006年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第一卷（选择题 共40分）
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设全集
，则
等于（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 已知
，则向量a与b（ ）
A. 互相平行 B. 互相垂直
C. 夹角为30° D. 夹角为60°
3. 复数
在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）
A. 
B.
C.
1 D.
4. 已知函数
，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
5. 设正三棱锥V—ABC的底边长为
，高为2，则侧棱与底面所成角的大小为（ ）
A. 
B.
C.
D.
6. 下列判断正确的是（ ）
A. “正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题。
B. “
”的充要条件是“
”。
C. 若“p或q”是真命题，则p，q中至少有一个真命题。
D. 不等式
的解集为
7. 已知A（7，1），B（1，4），直线
与线段AB交于点C，且
，则a等于（ ）
A. 2 B.
C.
1 D.
8. 下列关于函数
的判断正确的是（ ）
（1）
的解集是
。
（2）
是极小值，
是极大值。
（3）
没有最小值，也没有最大值。
（4）有最大值，没有最小值。
A. （1）（3） B. （1）（2）（3）
C. （2）（4） D. （1）（2）（4）
第二卷（非选择题 共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
9. 等差数列
中，
，则
等于___________。
10. 若球的表面积为
，则与球心距离为
的平面截球所得的圆面面积为________。
11. 在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为___________。
12. 
的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于_________，系数最大的项是第___________项。
13. 已知双曲线
，以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为______________________，若动点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且
，则线段AB中点的轨迹方程为______________________。
14. 对于一切实数x，令
为不大于x的最大整数，则函数
称为高斯函数或取整函数。
计算
___________；
若
为数列的前n项和，则
___________。
三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
已知
，且
。
（I）求
的值；
（II）求
的值。
16. （本小题满分13分）
袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球。
（I）求连续取3次球，恰得3分的概率；
（II）求连续取2次球的得分
的分布列及期望。
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱
中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝
＝2。
（I）证明：
；
（II）求点B到平面
的距离；
（III）求二面角
的大小。
18. （本小题满分13分）
椭圆
的焦点在x轴上，其右顶点关于直线
的对称点在椭圆的左准线上。
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆左焦点F的直线
交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C。设O为坐标原点，且
，求△OAB的面积。
19. （本小题满分14分）
已知数列满足
，其前n项和
。
（I）求证：为等比数列；
（II）记
为数列
的前n项和。
（i）当
时，求
；
（ii）当
时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有
？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由。
20. （本小题满分13分）
设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程
有实数根；②函数的导数
满足
”。
（I）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意
，都存在
，使得等式
成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
（III）设
是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的
，当
，且
时，
。