2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试（4）—《平面向量及复数》
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．设向量
（ ）
A．
B．
C．－ D．－
2．如果复数
（其中
为虚数单位，
为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么 等于 （ ）
A．
B．
C．2 D．－
3．
的值是 （ ）
A．0 B．－1 C．1 D．
4．若
=(2,－3),
=(1,－2)，向量
满足^,·=1,则的坐标是 （
）
A．(3,－2) B．(3,2) C．(－3,－2) D．(－3,2)
5．使
为虚数单位）的实数a有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设e是单位向量，
，则四边形ABCD是 （ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），点P在线段AB上，且
的最大值为 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．已知
，与的夹角为
，则使向量
与
的夹角为钝角的实数
的取值范围是
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
9．若
为复数，下列结论正确的是
（ ）
A．若
B．
C．若
则
为纯虚数
D．若
是正实数，那么一定是非零实数
10．若
是纯虚数，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足
，下列结论中正确的是 （ ）
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点
12．复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数
（ ）
A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数
C．是实数 D．只能是零
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．已知复数z满足等式：
，则z=
.
14．把函数)y=2x2—4x+5的图象按向量
平移后，得到y=2x2的图象，且⊥
，
=(1，－1)，·=4，则=_____________。
15．若复数z满足
的最小值是___________.
16．i为虚数单位，复数
等于___________________．
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知向量
.
①若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
18．（本小题满分12分）已知向量＝(cos
x，sinx)，＝(
)，且x∈[0，
]．若f (x)＝·－2
｜＋｜的最小值是
，求的值．
19．（本小题满分12分）已知向量
向量
与向量
夹角为
，且
.
（1）求向量；
（2）若向量与向量
=（1，0）的夹角为
，其中A，C为
△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求+
的取值范围.
20．（本小题满分12分）已知
为
的三个内角，
且
.
（1）当
取得最小值时，求
的度数；
（2）当
时，将函数按向量
平移后得到函数
，
求向量.
21．（本小题满分12分）．已知A、B、C是△ABC的三个内角，
向量
.
（1）求证：
A·B为定值；
（2）求C的最大值.
22．（本小题满分14分）已知向量
，
，
，
，且
与
之
间有关系式：
，其中k＞0．
（1）试用k表示
；
（2）求的最小值，并求此时与的夹角
的值．
参 考 答 案
（四）
一、选择题（每小题5分，共60分）：
(1).A (2).D (3).C (4). C (5).C (6). B (7). C (8).D (9).D (10).B (11).D (12)C
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13). －1，－1－2i ; (14). （3，－1）; (15). 1
; (16). -
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17．解 ①已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分
…………5分
故知
∴实数
时，满足的条件…………8分
（若根据点A、B、C能构成三角形，必须AB+BC＞CA…相应给分）
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则
，
…………10分 解得
…………12分
18．解：a · b
……………………2分
a＋b 
…4分
∴cos x≥0，因此 a＋b ＝2 cos x
∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即
…………6分
∴0≤cos x≤1
①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；…… 8分
②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值
，
由已知得
，解得：
………………10分
③若＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值
，
由已知得
，解得：
，这与
相矛盾．
综上所述，
为所求．
12分
19. 解：（1）设
，有
① ………（1）
因为，所以
，
，
，
，
． （2）由（1）
，当且仅当
，即
时取等号．此时，
，
，
，所以的最小值为，此时与的夹角为
由
夹角为，有
.
∴
②………………3分
由①②解得
∴即
或
…………4分
（2）由
垂直知…………5分
由2B=A+C 知
……6分
20.解：（1）解：
，当最小时，
或60°，
或90°
（2）解：
，
设
，
， 
21.解：解：（理）（1）由
=
得：
，……2分
即：
，
……2分
4
－B）=5+B），
……4分
……6分
（2）由（1）得A＞0，＞0，
又C=[
－（A+B）]=－（A+B）
=－
≤
·2
……10分
当且仅当A=B。即A=B时，C取得最大的值，此时C=
…12分
22.
解（1）因为，所以，
，，……3分
，
． …………6分
（2）由（1）
，…………9分
当且仅当，即时取等号．
…………10分
此时，，，，
所以的最小值为，此时与的夹角为…………12分