北京市西城区抽样测试高三数学（理科）答案及评分标准
2001.6
一、CCDCB ADABA AB.
二、（13）
（14）
（15）36cm；（16）①③
②④；②③①④.
三、解答题：其它解法仿此给分.
（17）解：原不等式等价于
设
则t>0且
∴
即
∴
………………………………………11分
∴原不等式的解集为
.……………12分
（18）解：（1）证明∵a+c=2b ∴
………………1分
∴
…4分
∵
∴
…………………………………………6分
（2）解：
…………………………………………9分
………11分
=1…………………………………………………………………12分
（19）解：（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角…2分
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°………3分
（2）取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴
∴AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE…………………………………………………………5分
在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线，
∴AE⊥PD
又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD…………………7分
∴MN⊥平面PCD
∴平面MND⊥平面PCD……………………………………………8分
（3）∵AD∥BC，
所以∠PCB为异面直线PC，AD所成的角………………………9分
由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)
∴
…………………………10分
∴
………………………………11分
又∠PCB为锐角，∴
即异面直线PC，AD所成的角的范围为
……………12分
（20）解：（1）椭圆
的两个焦点坐标是
离心率
……3分
由
可知双曲线
的离心率
……………………4分
∴
………………………………5分
故双曲线的方程为
……………………6分
（2）∵圆D经过双曲线的两个焦点，∴圆心D在直线x= –2上……7分
设圆D的方程为
………………8分
整理得：
令y=0，得
……………………………………9分
设圆D与x轴的两个交点为（
），（
），则
依题意
=
即16–4（2b–22）=64，解得b=5……………………………………12分
所以圆的方程为
……………………………13分
（21）解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：
……………………………………………2分
………………………………4分
（1）取
∴x=50即商品价格上涨50%时，y最大为
……………………7分
（2）因为
此二次函数开口向下，对称轴为
……………………………9分
在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{xx>0}的一个子集内增大时，y也增大。
所在
，解之0<k<1……………………………………………………12分
（22）解：依题意
……①
……②……………………………………………………2分
（I）∵
，∴由②式得
从而
时，
代入①
，∴
………………4分
∴
是等差数列。……………………………………………………… 5分
（II）因为是等差数列∴
∴
……………………………………8分
（III）由
及①②两式易得
∴中公差
∴
……………………………………10分
∴
………………③
又
也适合③、∴
………………11分
∴
∴
∴
………………………………………………………………13分