北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）
2001.5
一、选择题：
（1）C；（2）D；（3）A；（4）A；（5）C；（6）B；
（7）C；（8）C；（9）B；（10）C；（11）D；（12）D.
二、填空题：
（13）12；（14）
（15）x∈（0，2]；（16）
中选一即可
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）设z=x + yi（x，y∈R）
依题意，
∴
…………………………………………3分
故
∴
∴x=±1，
∴
∴z=1+i或z= –1–i………………………………………………5分
∴
……………7分
（Ⅱ）当z=1+i时，
∴A（1，1）、B（0，2）、C（1，–1）
∴AC=2
………………………………………………10分
当z=–1–i时，
A（–1，–1）、B（0，2）、C（–1，–3）
则
综上△ABC的面积为1.…………………………………………12分
（18）解：（Ⅰ）∵△ABC是正三角形，AF是BC边的中线
∴AF⊥BC
又D、E分别是AB、AC的中点
∴BE
|
∴
⊥DE，GF⊥DE
∴DE⊥平面
…………………………4分
又DE
∴平面⊥平面BCED……………6分
（Ⅱ）∵⊥DE，GF⊥DE
∴∠
是二面角A′–DE–B的平面角……………………7分
∵平面∩平面BCED=AF
作
⊥AG于H
∴⊥平面BCED………………………………………………9分
假设
⊥BD，连EH并延长交AD于Q
∴EQ⊥AD……………………………………………………………10分
∵AG⊥DE
∴H是正三角形ADE的垂心，也是中心.
∵AD=DE=AE=
∴
在Rt△
中，
∵∠=π–∠
GH
∴
∴
时…………………………………………11分
即当
……………………………12分
（19）解：（Ⅰ）∵当n≥2时，
成等差数列
∴
∴
………………………………………………2分
∴
∵
，∴
类似地
∴
∴ 
……………………………4分
（Ⅱ）∵当≥2时，
，即
∴
②–①，得
∴
为常数………………………………………………6分
∴
，
，
，…，
，…成等比数列.
其中
………………………………………………7分
故
∴
…………………………………………9分
（Ⅲ）∵
=
∴
=
………………………………12分
（20）解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12 ……………………1分
振幅A=3………………………………………………………………2分
b=10……………………………………………………………………3分
∴
……………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）
∴
…………………………………………………6分
∴
解得，
…………………………8分
在同一天内，取k=0或1
∴1≤t≤5或13≤t≤17………………………………………………10分
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时
…………………………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）∵y=f（x）是以5为周期的周期函数
∴f（4）=f（4–5）=f（–1）……………………………………………1分
又y=f（x），（–1≤x≤1）是奇函数
∴f（1）= –f（–1）= –f（4）
∴f（1）+f（4）=0…………………………………………………3分
（Ⅱ）当x∈[1，4]时，由题意，可设
f（x）=
（a≠0）……………………………………………………5分
由f（1）+f（4）=0
得
解得a=2
∴
（1≤x≤4）…………………………………………7分
（Ⅲ）∵y=f（x） （–1≤x≤1）是奇函数
∴f（0）= –f（–0） ∴f（0）=0………………………………………………8分
又y=f（x） （0≤x≤1 ）是一次函数
∴可设f（x）=kx （0≤x≤1）
∵
又f（1）=k·1=k
∴ k=–3
∴当0≤x≤1时 f（x）=–3x……………………………………………………9分
当–1≤x<0时，0<–x≤1
∴f（x）= –f（–x）= –3x
∴当–1≤x≤1时，f（x）=–3x………………………………………………11分
当4≤x≤6时，–1≤x–5≤1
∴f（x）=f（x–5）=–3（x–5）=–3x+15
当6<x≤9时 1<x–5≤4
∴f（x）=
…………………………………………12分
|
，且圆D与圆C外切（O为原点）.
∴圆D半径r=5–2=3
此时，A、B坐标分别为（0，0）、（0，6）
PA在x轴上，BP斜率k=2
∴tg∠APB=2…………………………3分
（Ⅱ）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则
A、B坐标分别为（0，a–r）、（0，a+r）设PA、PB斜率分别为
，
，则
|
…………………………………………………6分
由①解出
代入②，得
，而8r–6为单调增函数，
.
∴
∠APB的最大值为
；……………………………………9分
（Ⅲ）假设存在Q点，设Q（b，0），QA、QB斜率分别为，，则
……………………11分
将
代入上式，得
欲使∠AQB大小与r无关，当且仅当
，即
，
此时
∴存在Q点，当圆D变动时，∠AQB为定值
，Q点坐标为（
）
…………………………………………………………………………………………14分
注：其他正确解法可按相应步骤给分