二次函数综合问题例谈
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.
1. 代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.
1.1
二次函数的一般式
中有三个参数
. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
例1 已知
，满足1
且
，求
的取值范围.
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数
的值，但应该注意到：所要求的结论不是
的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和
当成两个独立条件，先用
和
来表示.
解：由
，
可解得：
（*）
将以上二式代入，并整理得
,
∴ 
.
又∵
，
,
∴ 
.
例2 设
，若
，
，
, 试证明：对于任意
，有
.
分析：同上题，可以用
来表示.
解：∵ 
,
∴ 
,
∴ 
.
∴ 当
时，
当
时，
综上，问题获证.
1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
例３ 设二次函数
，方程
的两个根
满足
. 当
时，证明
.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数
的表达式，从而得到函数
的表达式.
证明：由题意可知
.
,
∴ 
,
∴ 当时，
.
又
,
∴ 
,
综上可知，所给问题获证.
1.3 紧扣二次函数的顶点式
对称轴、最值、判别式显合力
例4 已知函数
。
（1）将
的图象向右平移两个单位，得到函数
，求函数的解析式；
（2）函数
与函数的图象关于直线
对称，求函数的解析式；
（3）设
，已知
的最小值是
且
，求实数
的取值范围。
解：(1)
(2)设
的图像上一点
，点关于的对称点为
，由点Q在
的图像上，所以
，
于是 
即 
（3）
.
设
，则
.
问题转化为：
对
恒成立. 即
对恒成立. （*）
故必有
.（否则，若
，则关于
的二次函数
开口向下，当充分大时，必有
；而当
时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴
，所以，问题等价于
，即
，
解之得：
.
此时，
，故在
取得最小值
满足条件.
2. 数形结合
二次函数
的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
2.1 二次函数的图像关于直线
对称， 特别关系
也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数
的图像关于直线
对称，证明：
.
解：由题意
.
由方程的两个根满足, 可得
且
,
∴ 
，
即 
，故 .
2.2 二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数
使得
且
在区间
上，必存在
的唯一的实数根.
例6 已知二次函数
，设方程
的两个实数根为
和
.
（1）如果
，设函数的对称轴为
，求证：
；
（2）如果
，
，求
的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设
，则
的二根为和.
（1）由
及，可得 
，即
，即
两式相加得
，所以，;
（2）由
, 可得 
.
又
，所以
同号.
∴ ，等价于
或
,
即 
或
解之得 
或
.
2.3 因为二次函数在区间
和区间
上分别单调，所以函数
在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数
在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数
，当时，有
，求证：当
时，有
.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑
，
，
，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于
正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑
在区间
上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知：
，
∴ 
，
∴ 
.
由时，有，可得 
.
∴ 
,
.
（1）若
，则
在
上单调，故当
时，
∴ 此时问题获证.
（2）若
，则当时，
又
，
∴ 此时问题获证.
综上可知：当时，有.