河北省石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）
数学试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程
、
）的解集为（ ）
A．
B．{0}
C．
D．
2．复数
，则
在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．设
为等差数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．3 B．9 C．21 D．39
4．对于直线
、和平面
、
，
的一个充分条件为（ ）
A．
∥
∥ B．
C∥
D．∥
5．在锐角
中，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（1，
）
C．
D．（―1，1）
6．函数
的一条对称的方程为
，则以向量
为方向向量的直线的倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．120° Ｄ．135°
7．若椭圆
按向量
平移后所得方程为
，则向量等于（ ）
A．（1，－2） B．（1，2）
C．（－1，2） D．（―1，―2）
8．与双曲线
有共同的渐近线，且经过点（－3，
）的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．给出以下四个命题：
①若
，则的取值范围是（1，
） ②函数
的单调递减区间为
③不等式
的解集为（0，1） ④若
，则
以上四个命题中正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．③④ C．②③ D．①②
10．在正方体
中，
是底面
的中心，
、
分别是棱
、
的中点，则直线
（ ）
A．是
和
的公垂线
B．垂直于，但不垂直于
C．垂直于，但不垂直于
D．与、都不垂直
11．（理）设定义域、值域均为
的函数
的反函数为
，且
，则
的值为（ ）
A．2 B．0 C．－2 D．
（文）已知
]，则此函数的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖金（ ）
A．250万元 B．252万元
C．254万元 D．256万元
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13．设
、
是两个不共线的向量，则向量
与向量
共线的充要条件是____________．
14．已知点
是直线
上的动点，
、
是圆
的两条切线，
为切点，
为圆心，则当四边形
的面积最小时点的坐标为__________．
15．已知两变量
、
之间的关系为
，则以为自变量函数的最小值为__________．
16．四个不同的球，放入四个不同的盒子中，恰有两个空盒的放法种数是___________．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
（理）一袋中装有6张同样的卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3张卡片，以
表示取出的卡片中的最大标号．
（1）求的分布列；
（2）求
．
（文）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为
，乙当选的概率为
，丙当选的概率为
．
（1）求甲、乙、丙恰有一名同学当选的概率；
（2）求甲、乙、丙至多两人当选的概率．
18．（本小题满分12分）
已知
，若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如右图，正三棱柱
的所有棱长均为2，是棱
上的一动点．
（1）当在棱上运动时，
是否有能与平面
垂直，说明理由；
（2）当
时，求线段
的长；
（3）在（2）的条件下，求二面角
的大小．（文科只需求出该角的一个三角函数值）．
20．（本小题满分12分）
一张形状为等边三角形的球桌，设其顶点为
一个球从
边的中点
击出，击中
边上的某点
，并且依次碰出
边于点
，最后击中边于点
，设
，求
的取值范围．
（文科只需求出
的取值范围）
21．（本小题满分12分）
设椭圆
的左焦点为，上顶点为
，过点与
垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，
两点，且分向量
所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过
三点的圆恰好与直线
：
相切，求椭圆方程．
22．（本小题满分14分）
（理）给定正整数和正数
，对于满足条件
的所有无穷等差数列，试求
的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（文）给定正整数和正数，对于满足条件
的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
参考答案
一、1．C 2．Ｄ 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 11．（理）B （文）C 12．C
二、13．
14．（－3，－3） 15．4 16．84
三、17．（理）解：（1）
；
． 4分
所以的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
| 0 | 0 | 0.05 | 0.15 | 0.3 | 0.5 |
8分
(2)
． 12分
(文)解：设甲、乙、丙当选的事件分别为、
和．
（1）
． 3分
因为事件相互独立，恰有1名同学当选的概率为
8分
．
答：恰有一名同学当选的概率为
． 9分
（2）至多有两人当选的概率为
． 12分
18．解：当时，
恒成立，即
恒成立． 2分
设
，
则
． 4分
由
得
或
． 5分
∴当
时，
，此时
为增函数；
当
时，
，此时为减函数； 7分
当
时，，此时为增函数． 8分
∴
，
又∵
．
∴当
时，有最大值2． 10分
由
得
或
． 12分
19．解：（1）无论在的任何位置都不能与平面垂直．
反证法：假设
平面，则
，必有与
重合；平面，则必有
，即
与
矛盾． 3分
（2）连结
交
于点，则
，又
， 4分
∴
平面
，且垂足为．
∴
．取的中点，连结
、
，则
面
而为在面内的射影，由三垂线逆定理知
，而四边形为正方形， 7分
∴易见为棱
的中点．
∴
． 8分
（3）由（2）知，
面
，过
作
于，连
则
所求二面角的平面角， 9分
在
中（如右图）
，
∴
在
中，
，
． 11分（文12分）
∴所求二面角大小是
． 12分
20．解：由为等边三角形及入射角等于反射角易见
∽
∽
，2分
∴
． 3分
不失一般性，设等边的边长为2，且
，
则有
，且
． 8分
在中，由正弦定理得
． 10分
而
， （文12分）
即
． 12分
21．解：（1）设点
其中
．
由分所成的比为8∶5，得
， 2分
∴
．①， 4分
而
，
∴
．
．②， 5分
由①②知
．
∴
． 6分
（2）满足条件的圆心为
，
， 8分
圆半径
． 10分
由圆与直线：相切得，
，
又
．
∴椭圆方程为
． 12分
22．（理）解：设公差为
，则
． 3分
4分
． 7分
又
．
∴
，当且仅当
时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项
，公差
时，
，
∴的最大值为
． 14分
（文）解：设公差为，则． 3分
， 6分
又
．
∴
．
当且仅当时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项，公差时，．
∴的最大值为． 14分