广东省梅州市松口中学2006届高三数学国庆质检试题
2005-10
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设集合
，定义P※Q＝
，则P※Q中元素的个数为
（A）3 （B）4 （C）7 （D）12
2、用数学归纳法证明
，在验证
时等式成立时，等式的左边的式子是（ ）
A、1； B、
； C、
； D、
3、
的值（ ）
A、为0； B、为
； C、为1； D、不存在
4、设
，则
（A）
（B）0 （C）
（D） 1
5、设函数
给出下列四个命题：
①
时，
是奇函数 ②
时，方程
只有一个实根
③的图象关于
对称 ④方程至多两个实根
其中正确的命题是
（A）①、④ （B）①、③ （C）①、②、③ （D）①、②、④
6、已知
，则方程
的实根个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）1个或2个或3个
7、已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，那么
的值为
（A）2
（B）
（C）3
（D）
8、若方程
无实数解，则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
9、已知
，则
的关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
10、设
是偶函数，
是奇函数，那么
的值为
（A）1 （B）－1
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）。
12、函数
的单调递减区间是________________________．
13、已知是定义在上的偶函数，并且
，当
时，
，则
_________________
14、关于函数
有下列命题：①函数
的图象关于
轴对称；②在区间
上，函数是减函数；③函数的最小值为
；④在区间
上，函数
是增函数.其中正确命题序号为_______________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、求过点（-1，0）并与曲线
相切的直线方程。
16、已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值与最小值；
（Ⅱ）求实数
的取值范围，使
在区间
上是单调函数．
17、二次函数满足
且
．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在区间
上，
的图象恒在
的图象上方，试确定实数
的范围．
18、有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号
，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记
。（1）求
的分布列；（2）求
和
。
19、设函数
（为实数）．
（Ⅰ）若
，证明:在
上是增函数;
（Ⅱ）若
，
的图象与
的图象关于直线
对称,求函数
的解析式．
20、已知 f (x) 是奇函数，且x < 0时，f (x) = 2 ax + ．
(1) 求x > 0时，f (x) 的表达式；
(2) a为何值时，f (x) 在 (0, 1] 上为增函数；
(3) 是否存在实数a，使 f (x) 在 (0, + ¥) 上取得最大值－9 ？
松口中学2006届高三数学国庆质检试题
参考答案
一、选择题：
1、D，2、C，3、B，4、D，5、C，6、B，7、A，8、C，9、D，10、D
二、填空题：
11、1.2； 12、 (2,+∞) ； 13、2.5 ； 14、①③④
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、
……（6分）
点
在曲线
上，
……（8分）
所求的切线方程为：
，即 
。 ……（12分）
16、解：（1）当时，
∴
时，的最小值为1；(3分)
时，的最大值为37．(6分)
（2）函数
图象的对称轴为
，（8分）
∵在区间上是单调函数，∴
或
（10分）
故的取值范围是
或
．（12分）
17、解： (1)设
，（1分）由
得
，故
.（3分）
∵
,∴
.（
即
,（5分）所以
,∴
. ……………7分
(2)由题意得
在[-1,1]上恒成立.（9分）即
在[-1,1]上恒成立.（10分）
设
,其图象的对称轴为直线
,所以
在[-1,1]上递减.
故只需
(12分),即
,解得
.
……………14分
18、
解：（1）可能取的值为0、1、2、4。
……（2分）
且
，
，
，
……（6分）
所求的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 | 4 |
|
|
|
|
|
|
……（8分）
（2）由（1）可知，
……（11分）
……（14分）
19、(1)设任意实数
,则
=
=
……………4分
.
又
,∴
,所以
是增函数. ……………7分
法二、导数法
(2)当
时,
,（9分）∴
, ∴
,（12分）
y=g(x)= log2(x+1). ………………………14分
20、解：(1) 设x > 0，则－x < 0，∴ f (－x) = 2a(－x) + = －2ax + ．2分
而 f (x) 是奇函数，
∴ f (x) = －f (－x) = 2ax－ (x > 0)． 4分
(2) 由(1)，x > 0时，f (x) = 2ax－ ，∴ f /(x) = 2a + ．6分
由 f./ (x) ≥ 0得a ≥ －．
而当0 < x ≤ 1时，(－ )max = －1．∴ a > －1． 8分
(3) 由 f ¢ (x) = 2a + 知，
当a ≥ 0时，在 (0, + ¥) 上，f ¢ (x) 恒大于0，故 f (x) 无最大值； 10分
当a < 0时，令f ¢ (x) = 0 得 x = ．
易得 f (x) 在 (0, + ¥) 的增减性如下表所示：
| x | （0，） |
| （， + ¥） |
| f ¢ (x) | + | 0 | － |
| f (x) | 递增 | 极大 | 递减 |
12分
令 f ( ) = 2a·－= －9，即 3 = 9，得a = ±3，
当a = －3时，x = >0，
∴ a = －3时，在 (0, + ¥) 上有 f (x) max = f ( ) = －9．14分