2006学年度高三年级第三次月考数学（理科）试卷

湖 南 师 大 附 中

2005—2006学年度高三年级第三次月考数学（理科）试卷

YCY　　　　　　　　　　　　　　

　　　 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1．已知命题p:，则p是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　 B．　C．　　　 D．

2．复数的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2i　　　　　　　　　　　 B．－2i　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　D．－2

3．已知数列的前n项和，则当n>2时有　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

4．已知P是以F₁、F₂为焦点的椭圆上一点，若=0，

　 =2，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

5．师大附中高三年级第三次月考时间是11月4、5日，当地4日下雨的概率是0.15，5日下

　 雨的概率是0.12，那么师大附中高三年级第三次月考期间当地不下雨的概率是　（　　）

　　　 A．0.102　　　　　　　　　B．0.132　　　　　　　　　C．0.748　　　　　　　　　D．0.982

6．如果函数的值域为R，则常数m的取值范围是（　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

7．把函数）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的

　 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

8．已知函数是定义域为R的增函数，且值域为（0，+∞），则下列函数中为减函数的

　 是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

9．数列：1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．

10．已知，则方程不相等的实根共有　（　　）

　　　 A．5个　　　　　　　　　　B．6个　　　　　　　　　　C．7个　　　　　　　　　　D．8个

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把各题的正确答案填写在题中的

11．展开式中的系数为　　　　　 .

12．在数列中，其前n项和，且，则k=　　　　　　  .

13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=　　　　　　 .

14．已知向量a、b满足：（a－b）·（2a+b）=－4，且a=2，b=4，则a与b的夹角等于

　　　 　　　　  .

15．已知二次函数，方程的两根分别为 （），其中m，n，均为常数，则（m，n）（）　　　　  .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（12分）

　　　 已知函数的部分图象如下图所示：

　 （1）求函数的解析式；

　 （2）若的图角与的图象关于点

　　　　P（4，0）对称，求的单调递增区间.

17．（12分）

　　　 如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，AC=BC=a，AA₁=AB,E是AB₁上的点.

　 （1）求二面角B₁—C—B的平面角的正切值；

　 （2）问：如何确定点E的位置，使得CE⊥AB₁？

　　　　并求此时C、E两点的距离.

18．（14分）

　 （1）证明：若数列有递推关系，其中A、B为常数，且A1，

　　　　AB≠0，，则数列是以A为公比的等比数列；

（2）若数列对于任意的，都有，

　　 令，求函数处的导数

19．（14分）

　　　 直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.

　 （1）求证：；

　 （2）试推断抛物线C是否存在一条弦MN，使得直线l是弦MN的垂直平分线？

20．（14分）

　　　 湖南师大附中有教职员工500余人，为了开展全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练，每天清晨定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天晨练. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？

21．（14分）

　　　 已知定义在R上的函数满足：对于任意实数，恒有，且当时，

　 （1）求证：当时，有；

　 （2）试判断在且R上的单调性，并证明你的结论；

　 （3）若实数x、y满足：，且，求z=x+y

　　　　的取值范围.

湖南师大附中2005—2006学年度高三年级月考试题

数学（理）参考答案

一、选择题

1．A　2．B　3．D　4．D　5．C　6．B　7．B　8．D　9．A　10．C

二、填空题：

11．－84 ；12．1；13．；14．120°；15．（m，n）.

三、解答题：

16．（1）………………………………（6分）

　 （2）

　　　　 ………………………………（8分）

　　　 =

　　　 =…………………………（10分）

　　　 令

　　　 即单调递增区间为[16k+6，16k+14]…………………………（12分）

17．解：（1）∵AC⊥B₁BCC₁，AC⊥BC，∴AC⊥B₁B 又AC⊥BC

∴∠B₁CB是二面角B₁—AC—B的平面角…………………………（3分）

在Rt△B₁BC中，B₁B=AB=

BC=a　

即二面角B₁—AC—B的平面角的正切值为.……………………………（6分）

　 （2）作CD⊥AB垂足为D，作DE⊥AB₁，垂足为E，…………………（7分）

　　　　　 ∵CD⊥AB，CD⊥AB₁　　∴CD⊥面A₁ABB₁  ∴CD⊥AB₁

　　　　　 又DE⊥AB₁　∴AB₁⊥面EDC　 ∴AB₁⊥EC

　　　　　 即此时E点即为所求.………………………………（9分）

　　　　　 在Rt△EDC中， DC=ED=

　　　　　 …………………………（12分）

18．（1）证：

　　　　　 是以A为公比的等比数列.……………………（5分）

（2）　　　

　　　　　 ∴

　　　　　 即 …………………………（7分）

　　　由（1）知是公比为2的等比数列， …………………（9分）

　　　　　 …………………………（10分）

　　　　　

=（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）－(1+2+3+…+n)………………（11分）

=2+（n－1）2ⁿ⁺¹－………………………………………（14分）

19．（1）证：F（，设l :x=my+

　　　　　 由…………………………（3分）

　　　　　 …………（7分）

　 （2）解：设M（

　　　　　 则MN的垂直平分线的方程为…………（9分）

　　　　　 若过F（，0），则

　　　　　 整理得：…………………………（11分）

　　　　　 …………………（12分）

　　　　　 此时方程为y=0，与抛物线C仅有一个交点.

　　　　　 而l与抛物线C有两个交点.

　　　　　 ∴与l不重合，即不存在弦MN，使得l是MN的垂直平分线………………（14分）

20． 设第n次去户外锻炼的人数为，去室内锻炼的人为，则

　　　

+=550×30%=150

　　　

　　　 ∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右.

21．（1）证：

　　　 设

　　　 …………………………………（4分）

　 （2）解：设

　　　

　　　 在R上单调递减.……………………………………………………（8分）

　

（3）

　　　

　　　 　　 ①………（10分）

　　　 又

　　　 　　　　　　  ②………（11分）

　　　 如图，同时满足①、②的点（的集合如阴影所示，

　　　 ∴Z∈[4，6]………………………………（14分）