数学开放性问题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
例 1 设等比数列
的公比为 
，前 
项和为 
，是否存在常数 
，使数列 
也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明 理 由.
讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数， 使数列 成等比数列.
(i) 当 
时，
代入上式得
即
=0
但
, 于是不存在常数 ，使
成等比数列.
(ii) 当 
时，
， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 , 存 在 常 数 
，使成等比数列.
等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !
例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.
（1）
=
.
（2）解不等式 ＞0,
得 
＜x＜
.
∵ x∈N， ∴ 3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵ 
≤40
当且仅当
时，即x=7时，等号成立.
∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii) 
y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函数f(x)=
(x<-2)
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)设a1=1,
=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<
成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2，∴x= -
,
即y=f-1(x)=
- 
(x>0).
(2) ∵
, ∴
=4.
∴{
}是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=
+4(n-1)=4n-3.
∵an>0 , ∴an=
.
(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=
, 由bn<,得 m>
对于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
为了求an ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.
例4 已知数列
在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f(n)的最小值；
(3)设
表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得
对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.
（1）
（2） 
,
,
.
（3）
,
.
故存在关于n的整式
使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗？
例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：
| 证人所说的颜色（正确率80%） | ||||
| 真 实 颜 色 | 蓝色 | 红色 | 合计 | |
| 蓝色（85%） | 680 | 170 | 850 | |
| 红色（15%） | 30 | 120 | 150 | |
| 合计 | 710 | 290 | 1000 | |
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为
，而它是蓝色的概率为
. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.
例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：
|
（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？
讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为
，平均每个养鸡场出产鸡
万只，
由图（B）可知, 
=30，
且点
在一直线上，
从而
由图（A）可知, 
且点
在一直线上，
于是 
=
（万只），
（万只）
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由
（万只），
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.
例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线
相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－
的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.
（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为
.
（2）（i）由题意得，直线AB的方程为
消y得
于是, A点和B点的坐标分别为A
，B（3，
），
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则BC=AB且AC=AB，
即有
|
由①－②得
因为
不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
即当点C的坐标是（－1，
）时，三点A，B，C共线，故
.
，
，
.
(i) 当
，即
，
即
为钝角.
(ii) 当
，即
，
即
为钝角.
(iii)当
，即
，
即
. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
.
需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.
例8 已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 
.
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若
，求数列{un}的前n项的和Sn.
讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在中,令
得
.
在中,令
得
，有 
.
（2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上
故为奇函数.
（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想.
由 
,
………………………………
猜测 
.
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1° 当n=1时，
，公式成立；
2°假设当n=k时，
成立，那么当n=k+1时，
，公式仍然成立.
综上可知，对任意
成立.
从而 
.
，
.
故 
例9 若
、
，
(1)求证：
；
(2)令
，写出
、
、
、
的值，观察并归纳出这个数列的通项公式
；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使
是等比数列，并求出公比q的值.
讲解 (1)采用反证法. 若
，即
, 解得 
从而
与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、
、
、
、
,
.
（3）因为
又
,
所以
,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得
、
.
我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?
例10 如图，已知圆A、圆B的方程分别是
动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：
．
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当
时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求
的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足
求a的取值范围．
讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋
，｜PB = r + 
，
∴ PA －｜PB = 2．
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 
（x ≥1）．若
, 则l的方程
为双曲线的右准线, ∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e
= 2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得
由 
， 解得
＞３．
∴ ｜PQ｜＝
．
当直线的斜率存在时，
，得
，｜PQ＝６．
∴ ｜PQ的最小值为６．
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴ R到直线l的距离｜RC＝
①
又 ∵ 点P、Q都在双曲线
上，
∴ 
．
∴ 
，即 
．
∴ 
②
将②代入①得 
，｜PQ｜＝２－４a≥6．
故有ａ≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.