绵阳市高中2006级第一次诊断性考试
数 学（理工类）
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页。满分150分，考试结束后将答题卡和答题卷一并交回。天网
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1、答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3、参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）；
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1. 复数
A.
0
B. 1 C.
i D. 
2. “m>1,n>1”是“logmn>0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 与函数
有相同图象的一个函数是
A.
B.
C.
D.
4. 某公司有N个员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本（N是n的正整数倍）。已知某部门被抽取了m个员工，则这一部门的员工数为
A.
B.
C.
D.
5. 命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是
A. 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
B . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
C. 若a+b是偶数，则a，b都是奇数
D. 若a+b是偶数，则a，b不都是奇数
6. 设函数
在点x =
0处连续，则a的值为
A.
0
B. 
C.
D.
1
7. 若
存在，则a的值为
A. 0
B. 1
C. －1 Ｄ.
8. 设随机变量
服从正态分布N(0，1)，记
，则下列结论不正确的是
A. 
B.
C. 
D.
9. 函数
的图象具有的特征：① 原点O（0，0）是它的对称中心；②最低点是（1，2a）；③y轴是它的一条渐进线。其中正确的是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
10. 曲线y=xsinx在点
处的切线与x轴、直线x=
所围成的三角形的面积为
A.
B.
Ｃ. 
D.
11. 设二次函数
的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则
的取值范围为
A. （0，1） B. 
C.
D. 
12. 如果偶函数
在
上单调递增，则
与
大小关系是
A.
B.
C.
D.
无法确定
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13. 已知函数
=
。
14. 已知数列
的前n项和是
，则
=
。
15. 如果
为纯虚数，则实数a=
。
|
的任意x1，x2，下列关系：
①
；
②
③
，
其中一定正确的是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本题满分12分）已知全集I=R，函数
的定义域为M，
，若
18. （本题满分12分）小王参加一次知识竞赛，已知在备选的10道试题中，他能答对其中的6道。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求小王答对试题数
的概率分布及数学期望。
19. （本题满分12分）已知f (x)是奇函数，且在定义域
内可导并满足
，解关于m的不等式
。
20. （本题满分12分）集合A是由具备下列性质的函数f (x)组成的：①函数f (x)的定义域是
；②函数f
(x) 的值域是
；③函数f
(x) 在上是增函数。试分别探究下列两小题：
（1）判断函数
及
是否属于集合A，并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f (x)，不等式
是否对于任意的x≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论。
21. （本题满分14分）已知
是定义在
上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x, y, f (x)都满足
。
（1）求f (1)、f (-1)的值；
（2）判断f (x)的奇偶性，并说明理由；
（3）请用数学归纳法证明
（n是正整数）
22. （本题满分12分）讨论函数
的单调区间，并求出它的极值。
参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
DACAB BCDBC BA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13、2
14、
15、－２ 16、①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、解：由
，有
，
∴
……………………2分
∴C1
………………4分
由
，即
，
∴
……………………6分
∵(C1
∴
………………9分
即
。
∵
；
∴a=1……………………11分
∴
∴
………………12分
18、解：由题知=0，1，2，3，……………………2分
∴
；
；
即小王答对试题数ξ的概率分布为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
……………………………………10分
∴他答对试题数的数学期望
。
…………………………12分
19、解：∵在定义域
内可导并满足，
∴在内是减函数。……………………3分
∴由
∴由是奇函数得
……………………6分
∴
…………………………10分
∴
。
∴原不等式的解集为（
）……………………12分
20、（1）解：∵
的值域为
，∴
………………2分
对于
，定义域为
，满足条件①。
而由
知
∴
，满足条件②
又∵
，∴
在上是减函数。
∴在上是增函数，满足条件③
∴属于集合A。……………………………………6分
（2）由（1）知，
属于集合A。
∴原不等式为
………………8分
整理为：
。…………………………10分
∵对任意
，
∴原不等式对任意总成立……………………12分
21、解：（1）∵对任意x,y都有
，
∴令x=y=1时，有
，
∴f (1)=0…………………………………………2分
∴令x=y=－1时，有
，
∴f (－1)=0。…………………………………………5分
（2）∵f(x)对任意x，y都有
∴令x=t，y=－1,有
将
代入得
，
∴函数是
上的奇函数。……………………8分
（3）①当n=1时，左边=
，右边=
，等式成立。
当n=2时，左边=
，
右边=
，等式成立…………………………10分
② 假设当n=k时，等式成立，即
则当n=k+1时，有
=
=
=
。
表明当n=k+1时等式也成立。
综上①②，对任意正整数，等式
成立…………………………14分
22、解：由
，……………………4分
令
即
，得
。…………………………5分
又当
时函数的导数不存在。…………………………6分
当
即
时，由下表
| x |
|
|
|
|
|
|
| + | 不存在 | + | 0 | － |
|
| ↗ | 0 | ↗ |
| ↘ |
∴的单调递增区间为
，
，递减区间为
，
当x=
时有极大值
。………………………………9分
当
即
时，由下表
| x |
|
|
|
|
|
|
| － | 0 | + | 不存在 | + |
|
| ↘ |
| ↗ | 0 | ↗ |
∴的单调递增区间为
，
，递减区间为
，当x=时有极小值。
∴综上所述，当时，原函数的递增区间为，，递减区间为，有极大值；当时，原函数的递增区间为，，递减区间为，有极小值。…………………………12分