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高三数学(理)全国统一标准测试(三)

2014-5-11 0:20:37下载本试卷

绝密 ★ 启用前　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(十二月号)

03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(三)

命题范围：第七章  直线与圆的方程；第八章　圆锥曲线

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分.共150分，考试时间120分钟.

参考公式：

sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α－β)］

cosαsinβ=［sin(α+β)－sin(α－β)］

cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α－β)］

sinαsinβ=－［cos(α+β)－cos(α－β)］

sinα+sinβ=2sincos

sinα－sinβ=2cossin

cosα+cosβ=2coscos

cosα－cosβ=－2sinsin

第Ⅰ卷(选择题共60分)

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试题卷上.

一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0，时，a的取值范围是

A.(,1)∪(1,)　　　　　　　　　　　　　　　　　B.(0，1)

C.(,)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.(1,)

2.若圆(x－a)2+(y－b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是

A.a2+b2－2a－2b+1=0　　　　　　　　　　　　　　　 B.a2+b2+2a+2b+1=0

C.a2+b2－2a+2b+1=0　　　　　　　　　　　　　　　　D.a2+b2+2a－2b+1=0

3.若点P为抛物线(y+2)2=4(x－1)上任意一点，以P为圆心且与y轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是

A. (4,－2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. (2,2)

C. (1,－2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D. (2,－2)

4.双曲线=1的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是

A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

5.已知曲线C1:y=mx－1,C2:y=1 x≤1,要使C1与C2总有交点，则m的取值范围是

A.［－1，1］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.（－∞，1）

C.［1，+∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.（－∞，－2］∪［2，+∞)

6.已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1,F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点.P为两曲线的一个交点，若e｜PF2｜=｜PF1｜，则e的值为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.不能确定

7.与y轴相切，且和曲线x2+y2=4(0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是

A.y2=2(x+1)(0＜x≤1　　　　　　　　　　　　　　　B.y2=4(x－1)(0＜x≤1

C.y2=－4(x－1)(0＜x≤1　　　　　　　　　　　　 D.y2=－2(x－1)(0＜x≤1)

8.若θ为三角形中最大内角，则直线l：xtanθ+y+m=0的倾斜角的范围是

A.(0,)∪(,)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(,)∪(,)

C.(0,)∪(,π)　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.(0,)∪(,π)

9.过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F，作互相垂直的两条焦点弦AB和CD，则｜AB｜+

｜CD｜的最小值为

A.19a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.8a

C.17a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.16a

10.过双曲线=1(a＞0,b＞0)的右焦点F，作渐近线y=x的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为

A.1＜e＜2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.1＜e＜

C.e＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.e＞2

11.若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1·x2=－,则实数m的值为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2

12.1998年12月12日，太原卫星发射中心为美国摩托罗拉公司发射了两颗“铱星”系统通信卫星，卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆.设其近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为R千米，则通信卫星运行轨道的短轴长为

A.mn千米

B.2mn千米

C.千米

D. 2千米

第Ⅱ卷 (非选择题共90分)

二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）

13.抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(,1)的直线l交抛物线于A、B点，且P恰为AB中点，则｜AF｜+｜BF｜=______.

14.已知A={（x,y）∣ax+y=1}，B={（x,y）∣x+ay=1}，C={（x,y）∣x2+y2=1}，若（A∪B）∩C中元素只有两个，则实数a的值为______.

15.过椭圆+=1的下焦点，且与圆x2+y2－3x+y+=0相切的直线的斜率是______.

16.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y(0≤y≤20).在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球半径的取值范围为______. 

三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分12分） 

如图所示，某化工厂反应塔MQ上有温度计AB.已知｜AM｜=a,｜BM｜=b.在矩形QMNP的边MN上建观察点C较安全，观察温度计AB时视角越大越清晰.问C在线段MN上何处时，对温度计AB观察得最清晰？

18.（本小题满分12分）

设点P是双曲线=1上一点，过P的直线与两渐近线交于P1、P2，且=3，设O为坐标原点，求△OP1P2的面积.

19.（本小题满分12分）

已知曲线C满足：曲线C任意一点到定点A（1，0）与定直线x=4的距离和等于5.

(1)求曲线C的方程；

(2)试判断曲线C上有几对不同的点关于定点P（3，0）对称，并求出这几对点的坐标.

20.（本小题满分12分）

有三块合金，第一块含60%的铝和40%的铬，第二块含10%的铬和90%的钛，第三块含20%的铝、50%的铬和30%的钛，现需要由它们组合成含钛45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围.

21.(本小题满分12分) 

已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上.直线l过焦点且与长轴的夹角为，l与C交于A、B两点，且AB=8.点P是椭圆上的动点，θ=∠F1PF2最大值为 90°，求椭圆C的方程.

22.（本小题满分14分）

在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间［－3，3］上滑动.

(1)求△ABC的外心P的轨迹方程；

(2)设一直线l：y=x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求的最大值，并求此时b的值.

03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(三)答案

一、1.C　2.B  3.D　4.B　5.D  6.C　7.C　8.A  9.D10.C　11.B　12.D

二、13.7　14.0或1　15.　16.(0,1］

三、17.解：要使体温计AB观察的最清晰，只要视角∠ACB最大即可，以NN，NQ所在直线为x轴，y轴，以N为坐标原点建立直角坐标系.设C(x,0),∠ACB=θ,　3分

则tanθ=　　　　　　　　　　　　　　 6分

∵a＞b,∴tanθ≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

等号当且仅当x=，即x=时成立.

又θ∈(0,),所以当x=时，θ取最大值arctan.

故C点应在NN上距N为处.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18.解：双曲线渐近线方程为y=±x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

设P1(x1,x1),P2(x2,－x2),P(x0,y0)

由λ==3，得P（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

代入双曲线方程化简得x1x2=12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  6分

又据夹角公式得tanP1OP2=,

∴sinP1OP2=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

由三角形面积公式得

S=｜OP1｜｜OP2｜sinP1OP2=…=··｜x1x2｜sinP1OP2=16　　　　　　　　　　　 12分

19.解：（1）设C上任一点P(x,y).

当x≥4时，(x－4)+=5,

整理得y2=－16(x－5)(4≤x≤5).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

当x＜4时，(4－x)+ =5,

整理得y2=4x.(0≤x＜4),

所以，y2= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（2）因曲线C关于x轴对称，所以直线x=3与C的两个交点A1、A2关于P（3,0）对称.

由知A1(3,2),A2(3,－2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　8分

又设B1(x1,y1),B2(x2,y2)关于P点对称，且分别在左右支上，

则由　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

得B1(,)、B2(,－)、D1(,－)、D2(, ).

共三对.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20.解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量分别为x、y、z,则含铬百分比为W=0.4x+0.1y+0.5z.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

其中消去z得

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（x,y）对应的点集为线段AB（包括端点）

由于W=0.4x－1.4y+0.75,即y=x+－W　　　 ①

①表示的直线与线段AB有公共点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

由此得直线截距的取值范围为≤－W≤,得0.25≤W≤0.4,

即含铬的百分比范围是［0.25,0.4］ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

21.解：设椭圆C的方程为=1,(a＞b＞0),F1(－c,0),∠F1PF2=θ,cosθ≥0.

又根据余弦定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

4c2=｜PF1｜2+｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cosθ

=(PF1+PF2)2－2｜PF1｜｜PF2｜(1+cosθ)

≥4a2－2()2(1+cosθ)

=4a2－2a2(1+cosθ)

∴cosθ≥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

当且仅当｜PF1｜=｜PF2｜时取等号，∴2b2－a2=0,即a2=2b2.

代入C的方程，得x2+2y2=2c2　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

由对称性，设l:y= (x+c)代入①，整理得

7x2+12cx+4c2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=－,x1x2=.

｜AB｜=｜x1－x2｜

=×2

=2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

=

又｜AB｜=8,∴c=7.

∴b2=49,a2=98,故C的方程为+=1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22.解：（1）设B，C的坐标分别为B(t,0),C(t－2,0)(－1≤t≤3),

则线段BC的中垂线方程为x=t－1,　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分

AB中点（,）,AB斜率为 (t≠0),

所以线段AB的中垂线方程为y－=(x－)　② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

由①②得：x2=6y－8(－2≤x≤2且x≠－1)　③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

当x=－1时，t=0时，三角形外心P为(－1,),适合③；

所以P点的轨迹为x2=6y－8(－2≤x≤2)　6分

（2）由得x2－2x－6b+8=0(－2≤x≤2)　④

x1x2=8－6b,x1+x2=2

所以｜EF｜=

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

又因为d=,所以

=

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

因方程④有两个不相同的实数根，设f(x)=x2－2x－6b+8

,∴＜b≤,≤＜.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

当=时，()max=.

所以的最大值是,此时b=. 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分