北京市西城区2003年抽样测试
高三数学试卷（理科）
2003．5
学校___________班级___________姓名___________
参考公式：
三角函数的和差公积公式
圆台的体积公式
其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。
（1）双曲线
的两个焦点坐标分别是（）
（A）
，
（B）
，
（C）（-1，0），（1，0）（D）（0，-1），（0，1）
（2）下列四个函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（）
（A）
（B）y=sinx
（C）
（D）y=arccosx
（3）如果复数
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）
（A）
（B）
（C）
（D）2
（4）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）
（A）m，n是α内两条直线，且m∥β，n∥β
（B）α，β都垂直于平面γ
（C）α内不共线三点到β的距离都相等
（D）m，n是两条异面直线，
，
，且m∥β，n∥α
（5）函数
的最大值是（）
（A）
（B）
（C）3（D）2
（6）在等比数列
中，
，
，则
的值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）
（A）120种（B）240种
（C）480种（D）600种
（8）设偶函数
在（0，+∞）上单调递减，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（）
（A）f（b-2）=f（a+1）（B）f（b-2）>f（a+1）
（C）f（b-2）<f（a+1）（D）不能确定
（9）P是双曲线
右支上一点，
、
分别是左、右焦点，且焦距为2c，则
的内切圆圆心的横坐标为（）
（A）a（B）b
（C）c（D）a+b-c
（10）设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的
，存在唯一的
，使
（C为常数）成立，则称函数y=f(x)在D上的均值为C。给出下列四个函数：
①
；②y=4sinx；
③y=lgx；④
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）
（A）①②（B）③④
（C）①③④（D）①③
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（11）把参数方程
（α是参数）化为变通方程，结果是_____________。
（12）
=_____________。
（13）一个圆台的高是上下底面半径的等比中项，这个圆台高为1，母线长为
，则这个圆台的体积为_____________。
（14）已知a+b<-c（a、b、c∈R），给出下列不等式：
①a<-b-c；②a>-b+c；③a<b-c；④a<b-c；⑤a<b-c。
其中一定成立的不等式是：_____________。
（注：把成立的不等式的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
已知
，
，
，求tg（α-2β）的值。
（16）（本小题满分13分）
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小；
（Ⅲ）设E为BC边的中点，F为PC中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD。
（17）（本大题满分13分）
某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。
（I）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？
（Ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？
（每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）
（18）（本小题满分14分）
函数y=kx（k>0）的图象与函数
的图象交于
、
两点（在线段
上，O为坐标原点），过、作x轴的垂线，垂足分别为M、N，并且
、
分别交函数
的图象于
、
两点。
（I）求证：是的中点；
（Ⅱ）若
平行于x轴，求四边形
的面积。
（19）（本小题满分16分）
已知数列是由正数组成的等差数列，
是其前n项的和，并且
，
。
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式
对一切n∈N均成立；
（Ⅲ）若数列
的通项公式满足
，
是其前n项的和，试问整数
是否是数列
中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
（20）（本小题满分16分）
已知椭圆C的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
、
，过椭圆C的右焦点F作直线l，使
，又l与交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）。
（I）当与夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）求
的最大值。
西城高三数学（理科）参考答案及评分标准
2003．5
一、选择题
BBCDA
CDCAD
二、填空题
（11）
；
（12）6；
（13）
；
（14）①②④。
三、解答题（其他解法仿此给分）：
（15）解：∵，∴
，∴
。………………2分
∵
，∴
。………………………………4分
∴
。…………………………………………6分
∵，
∴
………………………………8分
∴
。……………………10分
∴
…………………………12分
（16）（I）证明：取AD中点G，连结PG。
∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD。
又由已知平面PAD⊥平面ABCD。
∴PG⊥平面ABCD。…………………………3分
连结BG，BG是PB在平面ABCD上的射影。
由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD，△BCD均为等边三角形。
∴BG⊥AD，∴AD⊥PB。………………………………5分
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，
∴BG⊥BC，PB⊥BC。
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角。………………………………7分
又PG，BG分别是两个边长相等的等边三角形的高。
∴PG=BG。
∴∠PBG=45°。
即二面角A-BC-P的平面角为45°。……………………9分
（Ⅲ）解：DE是等边三角形BCD的中线，
∵BC⊥DE。
∴E、F分别是BC、PC中点，
∵EF∥BP，
∴BC⊥EF。…………………………11分
∴BC⊥平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABCD。……………………………………13分
（17）（I）解：设每件产品的新单价是x元。
由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元）。…………………………1分
由题意：x·80%-1200=20%·80%·x…………………………………………4分
解得x=1875（元）。………………………………………………6分
∴80%·x=1500（元）。
所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元。………………………………8分
（Ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件，则由题意，
m（1500-1200）≥200000，…………………………11分
解得
。
∵m∈N
∴m最小值应为667（件）。
所以，全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。…………………………13分
（18）（I）证明：设
、
。
则
，
……………………2分
∵
，
∴
。
即为的中点。……………………4分
（Ⅱ）解：∵
轴，∴
。
∴
，……………………6分
∵O、、三点共线，∴
…………9分
∴
，
解得
，………………………………11分
∴
。
此时，
，
，
，
。
于是MN=2，
，
。…………………………13分
∴四边形的面积
………………14分
（19）（I）解：设数列的公差为d，由已知得
……2分
∴(5+d)(10-3d)=28，
∴
，
解之得d=2或
。
∵数列各项均正，∴d=2，
∴
。
∴
。……………………4分
（Ⅱ）证明：∵n∈N，
∴只需证明
成立。…………………6分
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。……………………7分
（ii）假设当n=k时不等式成立，即
。
那么当n=k+1时，
………………8分
以下只需证明
。
即只需证明
。…………9分
∵
。
∴
。
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立。……………………10分
（Ⅲ）解：由已知
。
。
∴
……………………11分
解不等式
，得n<0或12<n<23。
∴当12<n<23，n∈N时，，
当
或n≥23，n∈N时，
。……………………13分
而当12<n<23时，
。
∴不是数列中的项。………………16分
（20）（I）解：∵双曲线的渐近线为
，两渐近线夹角为60°，
又
。
∴∠POx=30°。
∴
，………………2分
∴
。
又c=2，
，
∴
。
∴
，
。
∴椭圆C的方程为
。…………4分
∴离心率
………………………………6分
（Ⅱ）解：由已知，
。
与
联立，解方程组得
……7分
∴P在椭圆的右准线上，A在线段FP上。
设A分
的比为
。
则
。………………9分
将A点坐标代入椭圆方程，得
。…………………………10分
等式两边同除以
，
∴
………………12分
……14分
∴当
即
时，λ有最大值。
即的最大值为。………………16分