绝密★启用前
2003年普通高校招生数学(理)统一考试(全国卷)
(理工农医类)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．圆锥曲线
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
（ ）
A．（－1，1） B．（－1，+
）
C．
D．
4．函数
的最大值为 （ ）
A．
B．
C．
D．2
5．已知圆
的弦长为
时，则a= （ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知方程
的四个根组成的一个首项为
的等差数列，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为
M、N两点，MN中点的横坐标为
则此双曲线的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．
（ ）
A．3 B．
C．
D．6
12．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3
B．4 C．3
D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．
展开式中
的系数是
.
14．使
成立的
的取值范围是
.
15．如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
16．下列五个正方体图形中，
是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是
.（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且
是
和
的等比中项. 求.
18．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
19．（本小题满分12分）
已知
设
P：函数
在R上单调递减.
Q：不等式
的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求
的取值范围.
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
已知常数
在矩形ABCD中，AB=4，BC=4
，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）设
中所有的数从小到大排列成的数列，
即
将数列
各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
— — — — —
（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求
.
（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
设
中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知