朝阳区高三数学第一次统一练习试卷
（理工农医类） 2002.4
（考试时间120分钟，满分150分）
成绩_____________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数积化和差公式
正棱台、圆台侧面积公式：
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。
台体的体积公式：
其中s′、s分别表示上、下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。
（1）已知函数
的定义域为M，
的值域为N，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）直线
：ax+2y-1=0与直线
：
平行，则a的值为（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．0或1
（3）已知α、β是两个不同的平面，在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ）
A．α、β都垂直于平面y
B．a、b是α内两条直线，且a//β，b//β
C．α内不共线的三个点到β的距离相等
D．a、b为异面直线，且a//α，b//α，a//β，b//β
（4）若以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线
（α为参数）的极坐标方程为 （ ）
A．
B．ρ=2sinθ C．ρ=sinθ
D．
（5）不等式
的解集为（
）
A．{x-2≤x<2} B．{x-1<x<2}
C．{x0≤x<2} D．{xx<2}
（6）函数
的最小正周期为（
）
A．3π B．2π
C．π D．
（7）某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前接下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为
，顶层由于景观好价格为
，第二层价格为
，从第三层开始每层在前一层价格上加价
，则该商品房各层的平均价格为（
）
A．
B．
C．
D．
（8）若奇函数y=f(x)(x≠0)，当x∈（0，+∞）时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集为（ ）
A．{xx<0或1<x<2} B．{xx<-1或0<x<1}
C．{xx<-2或-1<x<0} D．{xx<0}
（9）高中一年级8个班协商级建年级篮球队，共需10名队员，若每个班至少出一名，则不同的名额分配方式有（ ）
A．224种 B．62种 C．36种 D．28种
（10）如图，三棱台
中，上底面
面积为
，侧面
面积为2，点B到上底面及侧面的距离均为1，则三棱台的体积为（
）
A．
B．
C．
D．2
（11）已知z∈C，z=1，当arg(z-2i)取得最大值时所对应的复数z为（ ）
A．
B．
C．
D．
（12）设
，
（c>0）是椭圆
的两个焦点，P是以
为直径的圆与椭圆的一个交点，且
，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）设数列
的前n项和为
，则
_____________.
（14）已知圆台的体积为28π，高为3，上、下底面半径之比为1：2，则圆台的侧面积为_____________。
（15）抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽_____________米。
（16）若对n个复数
存在n个不全为零的实数
使得
成立，则称为“线性相关”，依此规定，能使
“线性相关”的实数
依次可以取_____________。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等差数列。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求
的值。
（18）（本小题满分12分）
解关于x的不等式：
（19）（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，直线
与面ABC成45°的角，
∠ABC=90°，E、F分别为AB、
的中点。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
（Ⅲ）求三棱锥
的体积。
（20）（本小题满分12分）
在西部，待开发的某地B所需要的汽油要由地处A地的炼油厂从公路运输，已知A、B两地的运输距离为S千米，汽车从A地运汽油到B地往返一次的油耗恰好等于其满载汽油的千克数W，故无法将汽油直接运到B地，为解决问题，决定在途中选定C地建设临时中转油库，先由往返于A、C之间的汽车将油运至C地，再由往返于C、B之间的汽车将油运至B地。
（Ⅰ）问汽车每千米耗油多少千克？
（Ⅱ）设A、C两地的返输距离为x千米，问一辆汽车往返于A、C之间一次可为中转油库运去多少千克油？
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，问中转油库设在A、B之间何处时，运油率P最大、最大值是多少？[运油率P=（B地收到的油）÷（A地运出的油）]
（21）（本小题满分13分）
已知动双曲线的右顶点在抛物线
上，实轴长恒为4，又以y轴为右准线。
（Ⅰ）求动双曲线的中心的轨迹方程；
（Ⅱ）求离心率取最小值时的双曲线方程。
（22）（本小题满分13分）
已知函数
，g(x)=4(x-1)，数列满足
，
，
。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求数列
的通项公式；
（Ⅲ）若
，求
的最大项和最小项。
参考答案：
一、选择题：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| A | B | D | C | A | C | B | A | C | B | C | A |
二、填空题：
（13）（理），（文）2n；
（14）
；
（15）
；
（16）-4，2，1等等。
三、解答题：
（17）（Ⅰ）：∵a+c=2b， …………………………（理）2分
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)，………………（理）4分（文）3分
∴
。…………（文、理）6分
∵
，∴………………（文、理）8分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
，
，…………（文、理）10分
∴
，∴
。……………………（文、理）12分
（18）解：（理）原不等式
……………………2分
……………………4分
………………6分
（※）………………9分
∵-a<-1，
又
，
，
∴
∴（※）
，
∴解集为
。…………12分
（文）原不等式
，……………………2分
（※），……………………………4分
a>1时：（※）
………………7分
0<a<1时：（※）
或x>1………………10分
综上，a>1时，解集为
；0<a<1时，解集为
。
………………12分
（19）（理）（Ⅰ）证：∵为直三棱柱，∴
底面ABC。
∵
面ABC，∴
。……………………2分
又AB⊥BC，BC⊥面
。
又
面，∴。……………4分
（Ⅱ）证：∵
面ABC，
∴
为与面ABC所成的角。
∴
………………………………5分
∵，∠ABC=90°，
∴
，
∵面ABC，且
面，
∴面ABC⊥面。
过E作EH⊥AC，垂足为H，
∴EH⊥面，过H作
，垂足为G，连EG，
∴，
∴∠EGH是二面角的平面角。………………8分
∵△AEH∽△ABC，
可求得
，
，
∴
。
即二面角的正切值为。………………9分
（Ⅲ）∵
，…………………………11分
由（Ⅱ）知EH⊥面
，
∴
。………12分
（文）（Ⅰ）同理科（Ⅰ）。
（Ⅱ）证：∵面ABC，
∴为与面ABC所成的角。
∴……………………5分
∴
，
又面ABC，过B作BH⊥EC，垂足为H，连
，
∴
，
∴
是二面角
的平面角。………………7分
∵△EBH∽△EBC，可求得
，
∴
…………9分
（Ⅲ）∵
……………………11分
……………………12分
（20）（理）解：（Ⅰ）∵AB=S千米，每车载油量为w千克，
∴汽车每千米油耗为
千克。………………4分
（Ⅱ）∵AC=x，∴CB=S-x，
∴自A地往返C地一次，汽车油耗为
千克。……………………6分
∴一辆汽车自A地到C地余下的油量为
千克………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）结论可知，为使中转油库得到一车油，必须从A地运出
千克油，从中转油库满载一车油到B地，B地可收到的油为
千克………10分
∴
……………………（文）12分
当且仅当x=S-x，即
地
。
∴当油库设在两地运输道路的中点时运油率P最大，最大值为……………（理）12分（文）13分
（文）（Ⅰ）（Ⅱ）见理科（22）题（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）∵
，
∴
，
∴
，
∴
………………12分
（21）解：（理）（Ⅰ）设双曲线的中心为（x，y），依题意x<0，
∵a=2，∴双曲线右顶点为（x+2，y）……………………2分
依条件点（x+2，y）在上，∴
………………4分
∴双曲线中心的轨迹方程为
………………5分
（Ⅱ）∵a=2，∴c最小题，e最小。
设双曲线方程为
，……………………6分
且准线方程为x=0，
∴
………………7分
∴
。
由（Ⅰ）知
，
∴
，
……………… 10分
∴
，
∴
，∴
，
∴
当且仅当b=12时取等号，
此时
，
，
所求双曲线方程为
………………13分
（文）见理科20题
（22）（理）（Ⅰ）∵………………1分
又
，
∴
，
∵，∴………………3分
（Ⅱ）∵
，
，
，
猜测为等比数列。………………（文科20题）6分
证明：
，
∴是首项为1、公比为的等比数列，
∴
。………………（理）6分（文科20题）9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
，
……………………7分
，……………………10分
设
，函数
，当x≥0时，
，
∵为减函数，
∴当
时，y为增函数，
当
时，y为减函数，
∴的最大项为
。……………………11分
又当n=2时，
，
当n=3时，
，
当n=4时，
，
∵
，
∴n=3时，
最小。
∴的最小项为
。……………………13分
（文）（Ⅰ）同理科21（Ⅰ）
（Ⅱ）设双曲线的中心为（
），
∵a=2，∴…………6分
且准线方程为x=0，
∴，……………………8分
∴。
由（Ⅰ）知
，
∴
……11分
∴，∴，∴
，
∴半虚轴长的取值范围是
………13分
（如有其它解法请酌情给分）