北京市西城区2002年抽样测试
高三数学试卷（理科）
（2002.5）
参考公式：
三角函数的和差化积公式 球体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。请选出正确答案。
1．已知集合
则M∩N= （ ）
A. {xx≥1} B.{x x>1 } C. Φ D. {xx<0 或x>1}
2．已知
，
，则f(x)的图象 （ ）
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y的轴对称
C.是由g(x)的图象向左平移
个单位得到的
D.是由g(x)的图象向右平移个单位得到的
3．如果复数
的辐角主值为θ，那么复数-2+i的辐角主值是 （ ）
A.-θ B. 
C.
D. 2π-θ
4．已知直线
和直线
，则直线
与 
（ ）
A.通过平移可以重合 B.不可能垂直
C.可能与x轴围成等腰直角三角形 D.通过绕上某一点旋转可以重合
5．已知点P的极坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 （ ）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ=-1 D. ρcosθ=1
6．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为 ( )
A. 10人 B. 8人 C. 6人 D. 12人
7．一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3:2。 则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为 ( )
A. 1:1 B.
C.
D.
3:2
8．已知函数y=f(x)的图象如图甲所示，y=g(x)的图象如图乙所示。则函数
的图象可能是 ( )
9．把长为12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 ( )
Ａ.
B. 
C.
D.
10． (如图) 正方体
中，点P在侧面
及其边界上运动，并且总是保持
，则动点P的轨迹是 ( )
Ａ.线段
Ｂ.线段
Ｃ.
中点与
中点连成的线段
D. BC 中点与
中点连成的线段
11．对于抛物线
上任意一点Q, 点P(a,0)都满足PQ≥a，则a的取值范围是 （ ）
A. (-∞，0) B. (-∞，1] C. [0,1] D. (0,1)
12．已知a>0且a ≠1，
,当
时，均有
，则实数a的取值范围是 ( )
A. 
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分，把答案填在题中横线上。
13．在
的展开式中，常数项的值是__________________.(用数字作答)
14．已知抛物线
，当b(b∈R)变化时，抛物线顶点轨迹的普通方程为______.
15．G是正三角形ABC的中心，过G平行于BC的直线交AB于E，交AC于F，沿直线EF将三角形折成直二面角A-EF-C。则直线AC与平面EFCB所成的角的大小为__________.
16．设函数
，给出下述命题：
①f(x)有最小值；
②当a=0时，f(x)的值域为R；
③当a>0时，f(x)在区间[２，＋∞)上有反函数；
④若f(x)在区间[２，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a ≥-4.
则其中正确的命题是_______________.(要求：把正确命题的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
（a∈R, a是常数）,
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若
时，f(x)的最大值为1，求a的值。
18．（本小题满分12分）
数列
的前n项和
，其中a, b是常数。
(Ⅰ)若是等比数列，求a, b应满足的条件？
（Ⅱ）当是等比数列时，求
的值。
19．（本小题满分12分）
长方体中，AB=BC=1，
E是侧棱中点。
(Ⅰ)求证：直线AE⊥平面
；
(Ⅱ)求二面角
的大小；
(Ⅲ)求三棱锥
的体积.
20．(本小题满分12分)
有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.
(Ⅰ)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n-1年（n≥2,n∈N）的产量之间的关系式；
(Ⅱ)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少。
21．(本小题满分13分)
已知函数
（a, c∈R，a>0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值
，且
.
(Ⅰ)试求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)是否存在直线l与 y=f(x)的图象交于P，Q两点，并且使得P，Q两点的中点为(1,0)点，若存在，求出直线1方程；若不存在，说明理由.
22．(本小题满分13分)
已知双曲线
的离心率
,一条准线方程为
,直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示。
(Ⅰ)求该双曲线的方程；
(Ⅱ)求证：AB=CD；
(Ⅲ)如果AB=BC=CD，求证：△OBC的面积为定值.
高三数学(理科)参考答案及评分标准
2002 .5
一、BCBDC AACDA BC
二、（13）-20 （14）
（15）45° (16) ②③
三、解答题：其他解法仿此给分
17．解:(Ⅰ)
2分
4分
∴f（x）的最小正周期为2π。 6分
(Ⅱ)∵ ∴
8 分
∴
的最大值为2+a
10分
∴2+a=1
∴a=-1 12分
18．解：（Ⅰ）由已知 
2分
当n≥2时,
4分
∴ 当a≠0时,{
}从第二项起成等比数列.
若{}是等比数列，则首项为a，公比为2。
∴2a+b=a ∴a+b=0 6分
∴ 若{}为等比数列，a、b 应满足的条件是a+b=0 ，且a、b均不为零。 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ） 
10分
∴
12分
19. 解：
（Ⅰ）已知几何体为长方体
∴
平面
∴
2分
又AB=1,
，E为的中点
∴△ABE为等腰直角三角形
∴
同理 
∴
为直角
即
∴AE⊥平面
4分
(Ⅱ)取
中点O，连OE，则
、
∴EO⊥平面
5分
过O在平面中作
，交
于F
连结EF，则
∴∠EOF为二面角的平面角
7分
△AOF中，
∴
∴
即二面角的大小为
9分
(Ⅲ)由于
∴AB//平面
∴
12分
(20) 解：
(Ⅰ)设第n年后的产量为,则
……
即 
,
, 
,
3分
∴
.
5分
(Ⅱ) 依题意
7分
由
,得
,
∴
10分
由于
。
又 n∈N ∴当n ≥5时,
。
故从第5年起产量将比上一年减少。 12分
21.解：
(Ⅰ) ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)
即 
∴-bx+c= -bx-c. ∴ c=0
1分
∵a>0，b是自然数，
∴函数
当x≤0时，f(x) ≤0；x>0时，f(x)>0
∴f(x)最大值在x>0时取得。
∴x>0时，
，
4分
当且仅当
即
时，等号成立。
于是f(x)最大值为
， 即
，
∴
∴ 
① 6分
又
∴
∴5b>2a+2 ②
① 代入②得
解得
，又 b∈N，∴b=1.
∴a=1。
∴
8分
(Ⅱ)设存在直线l与y=f(x)图象交于P、Q两点，且P、Q中点为（1，0）。
设 
，则
。
∴
10分
消
得
，解之
。
∴
或
，
进而得到相应的
，或
12分
∴存在题目要求的直线l,
.
13分
22．解：
(Ⅰ)由已知
，
。
∴a=1，
。
∴所求双曲线的方程为
。
2分
(Ⅱ)解法一
设l:x=my+b, (m≠±1)
由
得
由
得
∴AD中点坐标为
。
4分
由
得 
∴
∴BC中点坐标为
6分
∴AD中点与BC中点为同一点,又A、B、C、D四点共线，
∴AB=CD。 7分
解法二：
当l倾斜角为90°时，设l：x=m,(m>1)。
∴A（m，m）D（m，-m）
,
∴
3分
∴当l倾斜面角不是90°时，设l： y = kx+b，(k≠± 1)
由
得
由
得
∴AD中点坐标为
4分
由
得
∴
∴BC中点坐标为
6分
∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，
∴AB=CD。 7分
（Ⅲ）设A(a，a) D(b，-b) a>0， b>0
∵AB=BC=CD
∴
即
9分
∴点C在双曲线上 ∴
∴
11分
又
13分
∴△OBC的面积为定值。