西安中学高2002级五月份模拟试题
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
；其中c＇，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长。
台体的体积公式
，其中S＇，S分别表示上、下底面面积，h表示高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若使集合
中有且只有一个元素的所有a的组成的集合N，则（ ）。
A．N={-1，1} B．N={0，1}
C．N={-1，0，1} D．N={0，-1}
2．若
，则下列不等式恒成立的是（ ）。
A．sinα<sin2α B．cosα>cos2α
C．tgα<tg2α D．ctgα>ctg2α
3．正三棱柱
中，
，D为AB中点，
，则点
到平面
的距离和
与
所成的角分别为（ ）。
A．
B．
C．
D．
4．（理）在极坐标系下，两圆ρ=sinθ与ρ=1的位置关系是（ ）。
A．相交 B．内含
C．外切 D．内切
（文）已知抛物线
与抛物线
关于直线y=-x对称，则的准线方程是（ ）。
A．
B．
C．
D．
4．若
成等差数列，
成等比数列，若
关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）。
A．x+y-7=0 B．y-x+1=0
C．x-y+1=0 D．2x-y-5=0
6．下列判断正确的是（ ）。
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数 D．f(x)=1既是奇函数又是偶函数
7．（理）设函数
的最大值为α，最小值为β，则sin(β-α)的值等于（ ）。
A．
B．
C．0
D．
（文）使
成立的x的一个变化区间是（ ）。
A．
B．
C．
D．
8．无穷等比数列
的前n项和为
，若
，且
，则
（ ）。
A．
B．2 C．4
D．8
9．函数
在[m，n]上是增函数，且f(m)= -A，f(n)=A，则函数
在[m，n]上（ ）。
A．是增函数 B．是减函数
C．最大值为A D．最小值为－Ａ
10．已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列条件：①对x∈R，都有f(x+4)=f(x)；②对任意的
，都有
；③y=f(x+2)的图象关于y轴对称。则下列结论中，正确的是（ ）。
A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5)
C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)
11．已知一正方体内接于一球面，用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形是一个圆及其内接正三角形，若此正三角形的边长为a，则这个球的外切正方体的表面积为（ ）。
A．
B．
C．
D．
12．函数
的图象如右图，则（ ）。
A．a>b>0，c>0 B．a=b<0，c>0
C．a=b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．设函数
的反函数为
，则函数
的定义域为__________________________。
14．已知
，
，则
的值为______________。
15．某化工厂生产实验中需依次投放2种化工原料。现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，共有不同的实验方案_______________种。
16．关于复数
，下列命题：
①复数
的辐角主值是α。
②复数z在复平面上对应点的轨迹是单位圆。
③
一定是实数。
④将复数z在复平面内对应的向量
按顺时针方向旋转90°得向量
，则点Q对应的复数为
。
其中正确命题的序号是__________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题12分） 已知z是虚数，
，求argz的范围。
18．（本题12分） 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，D是BC上一点，
。
（1）求证：截面
；
（2）求二面角
的大小的正弦植；
（3）求
与截面
的距离。
19．（本题12分）在数列中，
，且
。
（1） 求
；写出数列的通项公式，并加以证明。
（2） （理）设
，令
，求
。
（文）设
，令
，
。
20．（本题12分）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的
，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元。
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当
时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）。
21．（本题13分）如图，已知双曲线C的对称轴是坐标轴，离心率为
，点
是双曲线C的渐近线
上的两点，
的面积为9，点P是双曲线C上的一点，且点P分有向线段
所成的比是2。
（1）求双曲线C的渐近线方程：
（2）求双曲线C的方程。
22．（本题13分）
（理）定义在区间（-1，1）上的函数f(x)满足：
①对任意
，都有
；②当
时，f(x)>0。
（1）求证f(x)为奇函数； （2）试解不等式
。
（文）设函数
（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；
（2）当0<a<1时，判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的最小值。
参考答案：
一、选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| B卷答案 | C | B | B | 理D 文C | A | C | 理B 文C | D | D | B | A | C |
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14． -3
15． 15
16． ③④
三、解答题（共74分）
17．解：设z=x+yi（x, y∈R,且y≠0），……………………………………………1分
则由
，…………4分
得
∵y≠0，由2y(x-1)=0得x=1。…………………………6分
把x=1代入到
得
，即
。…………8分
从而z=x+yi=1+yi 
，…………………………………10分
∴
。……………………………………………………12分
18．解（1）∵
，
，∴
，…………2分
又。∴
。
又
，∴截面。………………………4分
（2）做
于E，则
，做
于F，连结CF，则
。
∴∠CFE为二面角的平面角。……………………………………6分
在
中，易求得
，在
中，可求得
。
故在
中，
。
即二面角大小的正弦值为
。……………………………………8分
（3）连接
与
交于H，在
中易证
，∴
。所求距离即为点B到平面的距离，…………………………………………………10分
由
可求得点B到平面的距离为
。……………………12分
19．解：（1）
，…………………………………………………………2分
推测
。…………………………………………………………………………4分
证明：①当n=1时，由得
，结论正确。
②假设当n=k（k∈N）时，结论正确，即
。
那么当n=k+1时，
这说明当n=k+1时，结论也正确。
由①、②得，对于
都有。……………………………………6分
（2）
，…………………………8分
∴
……………………………………………………………………10分
∴
。………………………………………………………………………12分
（文）
………………………………………………………………8分
∴
……………………………………………………………………………10分
∴
…………………………………………………………12分
20．解：（1）由题意可得y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x，
……………………………………………………………4分
∵
，∴
。即x的取值范围是
中的自然数。………………6分
（2）∵
,且，………8分
∴
。
∴当a为偶数时，
时，y取最大值。……………………………………10分
当a为奇数时，
时，y取最大值。（∵尽可能少裁人，∴舍去
）
答：当员工为偶数人时，裁员
人，才能获得最大的经济效益；
当员工为奇数人时，裁员
人，才能获得最大的经济效益。………………12分
21．解：（1）设所求双曲线方程为
，
∵
，∴
。………………………………………………2分
∴渐近线斜率为
。∴渐近线方程为
。……………………4分
（2）设
，
，则
。
………………………………6分
又∵
，∴
。………………………………………………7分
∴
。故
，……8分
∵
，∴点P的坐标为
。………………………………9分
设双曲线方程为
，将P点坐标代入化简得
，把代入得
，
。
∴所求双曲线方程为
。……………………………………………………12分
22．解：（理）（1）令x=y=0，则
，∴f(0)=0。……2分
又令
，则
，
，…………4分
∴f(-x)= -f(x)。故f(x)在（-1，1）上为奇函数。……………………………………5分
（2）令
，则
，
于是
。
即
，∴f(x)在（-1，1）上为减函数。………………………………8分
从而
…………10分
。…………………………12分
∴原不等式的解集为
。……………………………………13分
（文）（1）当a=2时，
，………3分
当且仅当
，即
时取等号。∴f(x)的最小值为
。……5分
（2）当0<a<1时，任取
，
……8分
∵0<a<1，且
，∴
。
∴
。……………………………………………………11分
从而得
，∴f(x)在
上为增函数。……………………12分
∴f(x)的最小值为f(0)=a。…………………………………………………………13分