多面体与旋转体 练习题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为
，这个长方体对角线的长是（ ）
A. 
B. 
C. 6 D. 
2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为
，则此棱锥的体积为（ ）
A. 
B. C. 
D. 2
3. 圆锥轴截面顶角为
，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 设
是矩形
的边
上一点，以直线为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积为
，其中以
为母线的圆锥的体积为
，则以
为母线的圆锥的体积等于（ ）
A. B. 
C. 
D. 
7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 若干毫升水倒入底面半径为
的圆柱形器皿中，量得水面高度为
，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A. 
B. C. 
D. 
9. 已知长方体的对角线长为，则长方体全面积的最大值是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的
，若经过这三点的小圆面积为
，则该球的体积为（ ）
A. B. 
C. 
D.
11. 把边长为1的正方形沿其对角线
折起，使二面角
为
，那么三棱锥
的体积为（ ）
A. B. 
C. 
D. 
12. 母线长为
的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13. 正四棱锥底面边长为3，体积为
，则它的侧面与底面所成角的大小为_______。
14. 半径为
的球内有二个平行截面，其面积分别为
，那么这两个平行截面之间的距离为____________。
15. 把一个大金属球表面涂漆，共需油漆
。若把这个大金属球熔化，制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆_________
。
16. 圆台的母线与底面成
角，侧面积为
，则它的轴截面面积为___________。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
如图，
—是正四棱锥，高
，相邻两侧面所成角为，且
，求
（I）侧棱与底面所成角的大小；
（II）侧棱和底面边长。
18. （本小题满分12分）
斜三棱柱
的底面是边长为
的正三角形，侧棱长为
，侧棱
与底面两边
所成的角都是。求这斜三棱柱的侧面积。
19. （本小题满分12分）
设
是圆锥
的两条母线，是底面圆心，底面积为
是
中点，与底面所成角为
。求这圆锥的体积。
20. （本小题满分12分）
在三棱锥
中，
和
的公垂线段
（如图）。求三棱锥的体积。
21. （本小题满分12分）
圆台的侧面积为
，它的侧面展开图为半圆环，圆台的上、下底面半径之比为1:3，求这圆台的体积。
22. （本小题满分14分）
如图，是矩形，
是中点。以
为棱，将
向上折起，将
变到
位置，使面
。
（I）求直线
与平面
所成角的正切值；
（II）求证：
；
（III）求四棱锥
的体积。
试题答案：
一. 选择题：
1. D 2. C 3. D
4. B
提示：设圆台母线长为
则
故
5. A
提示：两个扇形的圆心角分别为
故两圆锥底面圆半径分别为
（其中设圆形纸片半径为1）
于是
。
6. C
提示：如图并依题意有
故
7. C
提示：设球半径为
，正方体棱长为
则
即
其体积比
8. B
提示：利用水的体积相等，设水面高度为
则
，求
9. A
提示：设长方体过同一顶点的三条棱长为
则
当且仅当
时取等号。
10. B
提示：设球半径为
由已知可得，以球心为顶点，球面上三点组成的三角形为底面的三棱锥中，侧面顶角都为
故球面上三点中，任意两点间距离为
再由已知可得
11. D
提示：取中点，连结
则
12. A
提示：设圆锥底面半径为
，则其体积
当且仅当
即
时，上式取等号
此时
二. 填空题：
13.
14. 
提示：注意球心可在两平行平面之间，也可在两平行平面同侧。
15. 9.6
提示：设大、小球半径分别为
则由
故
又单位面积用漆量为
共用漆
16. 3
提示：如图依题意有
又
即
轴截面面积
三. 解答题：
17. （I）作
于
，连结
由
得
即
为两侧面所成二面角的平面角，为，并且
是侧棱与底面所成角，记作
，连结
由
故
在
中，
即侧棱与底面所成角为
（II）在
中，
侧棱
底面边长
18. 由已知
过
作
于，过作
于，作
于
，连结
故
于是
从而
是
中
的平分线
又是正三角形
故
是矩形，
所求侧面积
19. 如图，作
于
从而
连结
为与底面所成二面角的平面角
即
又底面积为
故底面半径为10
在
中，可求得
故
20. 
21. 设圆台上、下底面半径分别为
，母线长为，高为
则
解得
22. （I）作
于，连结
由面
故
是与面所成角
，是中点
故
在
中，可求得
（II）在矩形中，连结
由
即
由（I），
故
又
（III）
