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高三数学第八章能力训练

2014-5-11 0:20:40下载本试卷

高三数学第八章能力训练

 (一)选择题

1.给出下列命题:

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥;

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥;

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的个数是(  )

A.0      B.1       C.2      D.3

2.两球体积和是12π,且两球大圆周长的和是6π,则这两个球半径的差是(  )

A.3      B.2      C.1      D.0.5

3.地球表面北纬60°圈上有A、B两点,它们的经度差为180°,A、B两点沿纬度圈的距离与 地球表面A、B两点最短距离的比是(  )

A.3:2      B.2:3      C.3:4      D.4:3

4.如图,已知圆台的轴截面ABCD,∠ABC=60°,AB=12,CD=6 ,点E是下底面圆O上的一点,∠ABE=30°,则DE与CO所成角α的正切的值等于(  )

A.      B.      C.      D.

5.球O的半径R,A、B、C为球面上三点,A与B、A与C的球面距离为,B与C的球面距离为R,则球O在二面角B-OA-C内的 部分的体积是(   )

A.πR3           B.πR3

C.πR3           D.πR3

6.三棱锥A-BCD的高AH=3a,且H是底面△BCD的垂心,若AB=AC,二面角A-B C-D为60°,G为△ABC的重心,则HG的长为(  )

A.a  B.a  C. a  D. a

7.底面半径为R,高为H的圆锥的内接正方体的棱长为(  )

A.      B.    C.    D.

8.如下图,已知AA′B′B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上一点,且 ∠CAB=α,∠CA′B=β,∠ABA′=θ,则α、β、θ三个角之间的关第是(  )

A.sinαcosθ=sinβ        B.cosαcosθ=cosβ

C.sinα=sinβcosθ        D.cosα=cosβcosθ

9.用一张半径为R的圆形滤纸,做一个容量最大的过滤器(圆锥体),则将这个圆形滤纸剪去 一个扇形的中心角θ(弧度)应是(  )

A.2π-π      B.2π-π      C.      D.

10.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底边长:侧棱长:下底边长=1∶2∶3,则其面对 角线AD1与B1C所成角的余弦值为(  )

A.    B.    C.-    D.

(二)填空题

11.圆锥的侧面展开图是一个半圆,有一个半球的底面恰好为该圆锥的底面,半球面将圆锥 侧面分成上、下两部分,这两部分面积分别是S1、S2,则S1∶S2       .

12.把一个大金属球 表面涂漆,需油漆2.4kg,若把这个金属球熔化, 制成 64个半径相等的小金属球(设损耗为零),将这些小金属球表面涂漆,需用油漆       .

13.如图,一块铁皮呈等腰梯形状,两底分别为4a,2a,高SC 为a,S是AA′的中点,将梯 形沿虚线折成一个四棱锥S-ABCD的侧面(如图)(A重合于A′),该四棱锥的体积为      .

14.正四棱台ABCD-A1B1C1D1,上底AB=1,下底A1B1=2,侧棱AA1与底面成60 °角,则侧面梯形ABB1A1的对角线BA1与下底面所成的角为     .

15.如图,在正三角形ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D 、H、G为垂足,若将正△ABC绕AD旋转一周所得圆锥的体积记为V,则其中由阴影部分所产生 的旋转体的体积与V的比值是      .

(三)解答题

16.设圆台的高为h,母线与下底所成的角为α,轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的 侧面积.

17.已知球的外切圆台的体积是球体积的倍,求这个圆台的母线与底 面成角的大小.

18.求半径为R的球内接圆锥侧面积的最大值.

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=5cm, AD=8cm,∠BAD=60°,PA=cm,且PA⊥平面ABCD,点E在PA上,且 PC∥平面BED.

①求这个四棱锥被截面BED分成两部分的体积;

②求顶点A到截面BED的距离。

20.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是Rt△ABC,∠A=90 °,且BC1⊥AC,作C1 H⊥底面ABC,垂足为H。①试判断H点的位置,并说明理由。②若AB=AC=2,AC1=2,侧棱与底面成60°角,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

21.已知AA′B′B是圆柱的轴截面,C是上底面圆周上不同于A,B的一点.①求证平面BA′ C⊥平面AA′C;②当棱锥A′-ABC的体积V′和圆柱的体积V的比是1:2,求 二面角B-AA′-C的大小;③设A-A′B-C为α,又∠CAB=β,∠CA′B=γ,求证sinα=.

参考答案:

(一) 1.A  2.C 3.A 4.C  5.C 6.B 7.C  8.A

9.B  10.D

提示:

5.可求得二面角B-OA-C的平面角就是∠BOC=60°,因此两个半圆面所夹的体积是球体积的.

 (二)11.1∶3 12.9.6kg 13. a3 14 .arctg  15.5∶8

(三)16.设圆台的截面A1ABB1,上、下底半径分别为r和R, 母线长为l,A1D⊥AB于

D,则A1D=h,∠A1AB=α,则BD=h·tgα,而BD=R+r,即BD=R+r=h·tgα,t=h· cscα.

S=π(R+r)l=πh2secα.

17.画出轴截面图,设圆柱上、下底半径分别为a、b,可依题设条件求得内切球半径R=,由=,化简得b=2a,易知母线与底面所成角θ的正切值tgθ==2,因此母线与底面所成角为arctg2.

18.设圆锥顶角为2α,则母线l=2Rcosα,底面圆半径r=Rsinα,则 圆锥侧面积.

S=πγl= 2πR2sin2αcosα= 4πR2sinαcos2α

其中令y=sinαcos2α,则

y2=sin2αcos4α=sin2α(1-sin2 α)2

=·2sin2α·(1-sin2α)(1-sin2α)

3=

当2sin2α=1-sin2α即sinα=时,等号成立,

∴y≤ ∴S≤πR2

即圆锥侧面积的最大值是πR2.

19.①如图,AB∩BD=O,则OE是平面BED和平面APC的交线,由PC∥ OE E是PA中点,从而EA=。易知

VE-ABD,VEPBCD=VP-ABD (cm3).

②作AF⊥BD,垂足为F,连EF,易证平面EAF⊥平面BED,作AH⊥AEF中,AE=cm,AF=cm,EF=cm,可知∠FEA=60°,因此AH=AE。sin60°=(cm),即为所求A到平面BED的距离.

20.①C1H⊥平面ABC,连结BH,则BH是BC1是在平面ABC的射影。

BC1⊥AC,BH⊥AC,又BA⊥AC,而在平面ABC内,过B只有一条直线垂直于AC,故BA,BH重 合,故H点在BA直线上。

②连结CH,则∠C1CH=60°,设C1H=x,则CH=x,在Rt△CAH中,AH1=(x)2-22,在Rt△C1 HA中,AH1=(2)2-x2x2-4=28-x2,x 2=24,x=2,又S△ABC×2×2=2,V棱柱=2·2=4

21.①略. ②易知∠BAC是二面角B-AA′-C的平面角,设圆柱底半径为r,高为h,∠CAB=β,则VA ′-ABC=·S△ABC·h=··2sinβ·2rcosβ·h=r2s in2β又圆柱体积V=πr2h,由VA′-ABC:V=1:2,得sin2β=,2β=60°或120°,故二面角B-AA′-C,为60°或30°.

③由①得平面BA′⊥平面AA′C,作AE⊥A′C,则AE⊥平面BA′C,作EH⊥A′B,连结AH,可 知∠AHE是二面角A-A′B-C的平面角,∠AHE=α,sinα=,其中AE= AC·cos∠AA′C=2rcosβ·;AH=AB·cos∠AA′B=2r·,∴,即sinα=.