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西安中学高三数学期中试卷

2014-5-11 0:20:40下载本试卷

西安中学高三年级第一学期期中考试

数学试题

一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)

1.已知M={xy=x,x∈R},,则M∩N等于(  )

A.{(0,0),(1,1)}      B.{ xx∈R }

C.{yy≥0}            D.φ

2.已知集合A={a,b,c},集合B={m,n},设映射f:A→B。如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象,那么这样的映射f有(  )

A.8个     B.6个    C.4个    D.2个

3.奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数,则必在的图象上的点是(  )

A.(-f(a),-a)     B.

C.(-f(a),a )     D.

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,,那么的值是(  )

A.     B.    C.    D.9

5.函数的单调递减区间是(   )

A.      B.

C.       D.

6.定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数,函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间(0,+∞)上的最大值为10,那么函数F(x)在(-∞,0)上的最小值为(  )

A.-10    B.7    C.-7   D.-4

7.若把函数y=f(x)的图象做平移,可以使图象的点P(1,0)变换成点Q(2,2),则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为(   )

A.y=f(x-1)+2        B.y=f(x-1)-2

C.y=f(x+1)+2        D.y=f(x+1)-2

8.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,那么a与b不可能(  )

A.相交    B.异面    C.平行   D.垂直

9.圆台上、下底面面积分别为,平行于底面的截面面积为,那么截面到上、下底面距离之比为(  )

A.2:1    B.1:2    C.3:1    D.1:3

10.圆锥的高h=8,它的侧面展开图的圆心角是216°,那么这个圆锥的全面积是(  )

A.96π  B.24π    C.84π   D.60π

11.正四棱台下底面为ABCD,上底边长:侧棱长:下底边长=1:2:3,侧面对角线所成角的余弦值为(  )

A.    B.   C.    D.

12.三棱锥A-BCD的高,H为底面△BCD的垂心,若AB=AC,二面角A-BC-D等于60°,G为△ABC重心,则HG的长为(  )

A.    B.    C.    D.

二、填空题(本大题共有4道小题,每小题4分,共16分)

13.若(x≤0),则=_______________。

14.(如右图)矩形ABCD边长分别为15,20,PA⊥平面ABCD,则点P到CD边的距离为_______________;点P到BD的距离为_______________。

15.(理科做)球外切圆台的上、下底半径分别为1和3,则球的体积是_______________。

(文科做)二面角内有一点,它到两个面的距离相等,并且等于它到棱的距离的一半,这个二面角的度数为_______________。

16.若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),给出下列四个结论:

①f(2)=0;

②f(x)是以4为周期的函数;

③f(x)的图象关于直线x=0对称;

④f(x+2)=f(-x)。

其中所有正确结论的序号是_______________。

三、解答题(本大题共有6道小题,17-21题每小题12分,22题14分,共74分)

17.已知函数f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,那么f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?写出你的推理过程。

18.如图,三棱锥P-ABC的底面△ABC内接于圆O,PA垂直于圆O所在的平面。

(1)求证:平面PAC⊥平面PBC。

(2)若PA:PB=4:3,,求直线PB和PAC所成角的大小。

19.已知关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解,求实数a的取值范围。

20.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PD⊥底面ABCD,若PD=6,M,N分别是PB,AB的中点。

(1)求证:MN⊥CD;

(2)求三棱锥P-DMN的体积;

(3)求二面角M-DN-C的平面角。

(文科不做第(3)问)

21.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获的利润依次是P万元和Q万元,它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出:,今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润?

22.(理科做)已知函数(0<a≠1,k∈R)。

(1)当0<a<1时,若f(x)在[1,+∞]内有意义,求k的取值范围;

(2)当a>1时,若f(x)的反函数就是它本身,求k的值;

(3)在(2)的条件下,解方程

(文科做)设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),

(1)求f(x)的表达式;

(2)求f(x)的值域;

(3)求f(x)的单调区间。

参考答案:

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B

二、填空题(每小题4分,共16分)

13.0

14.;15

15.;60°

16.①②④

三、解答题(共6道小题,17-21题每小题12分,22题14分,共74分)

17.解:设,则

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,

又f(x)是奇函数,

故f(x)在(-∞,0)上是增函数

18.证(1)∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径

∴BC⊥AC

∴BC⊥平面PAC

∴平面PAC⊥平面PBC

(2)∵BC⊥平面PAC

∴∠BPC为PB和平面PAC所成的角

设PA=4k,AB=3k,则PB=5k

在Rt△PCB中,

∴∠BPC=30°为所求

19.解:原方程等价于

由其图象易得当时,

原方程有解

20.(1)∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥CD

又CD⊥DA,

∴CD⊥平面PDA

∴CD⊥PA

又∵M、N分别是PB、AB的中点

∵MN∥PA

∴MN∥CD

(2)设AC∩BD=0,连MO、PN

∵MO∥PO

∴MO⊥平面ABCD且

∵N是AB的中点,

(3)过O作DN作垂线OK,垂足为K,连ON,MK

则MK⊥ND

∴∠MKO是二面角M-DN-C的平面角

为所求。

21.解:设投入乙种商品的资金为x万元,则投入甲种商品的资金为(3-x)万元。

依题意,甲种商品可获利万元,乙种商品可获利万元,共获利为

,即

(万元)

答:甲种商品投入0.75万元,乙种商品投入2.25万元,可获得最大利润1.05万元。

22.(理科)解:f(x)在[1,+∞)内有意义,

时x∈[1,+∞)均成立,

时x ∈[1,+∞)均成立

∵0<a<1,∴

在[1,+∞)上是增函数,

当x=1时,其最小值为1,

∴当k<1时,f(x)在[1,+∞)内有意义

(2)显然k≠0,

从而

为使对f(x)定义域内的一切x都成立,

整理得对定义域中的一切x都成立

此时(x<1)

(3)由a>1,及x<1得

∴原方程有唯一解x=-1

(文科)解:(1)(0<x<3)

(2)令,当x∈(0,3)时,

(3)f(x)在上递增,在上递减。