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第一学期高三数学期末考试试题及答案-上海版

2014-5-11 0:20:41下载本试卷

金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题

(满分:150分,完卷时间:120分钟)

题号

112

13~16

17

18

19

20

21

22

总分

得分

签名

一、填空题(本大题共有12题,每题4分,满分48分)

1、已知集合A={xy=lg(x–3)},B={xy=},则AB=       

2、定义在R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为        

3、设函数f(x)=lgx,则它的反函数f –1(x)=        

4、函数y=sinxcosx的最小正周期T=         

5、若复数z1=3–iz2=7+2i,(i为虚数单位),则z2z1   

6、ΔABC中,若∠B=30oAB=2AC=,则BC=       

7、无穷等比数列{an}满足:a1=2,并且(a1+a2+…+an)=,则公比q=  

8、关于x的方程2x=只有正实数的解,则a的取值范围是       

9、如果直线y = x+a与圆x2+y2=1有公共点,则实数的取值范围是    

10、袋中有相同的小球15只,其中9只涂白色,其余6个涂红色,从袋内任取2只球,

则取出的2球恰好是一白一红的概率是    

11、F1F2是双曲线的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,则点P到焦点F2的距离等于          

12、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时,集合N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4,请你尝试对n=3、n=4的情况,计算它的“交替和”的总和S3S4,并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=          。(不必给出证明)

二. 选择题(本大题共4题,每题4分,共16分)

13.已知数列{an}的通项公式是an=2n–49 (nÎN),那么数列{an}的前n项和Sn 达到最小值时的n的值是                            (  )

(A) 23    (B)  24    (C) 25    (D) 26   

14.在直角坐标平面中,若F1F2为定点,P为动点,a>0为常数,则“PF1+PF2=2a”是“点P的轨迹是以F1F2为焦点,以2a为长轴的椭圆”的            (  )

(A)充要条件 (B)仅必要条件 (C)仅充分条件 (D)非充分且非必要条件

15.设x=sina,且aÎ,则arccosx的取值范围是          (  )

(A) [0, p]    (B) [,]  (C) [0,]   (D) [,p]

16.设非零实常数abc满足ab同号,bc异号,则关于x的方程a .4x+b.2x+c=0(  )

(A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根

三、解答题(本大题共6题,共86分,解答下列各题必须写出必要步骤)

17.(本题满分12分)

过定点A(–1,1)是否存在直线l,使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。

18.(本题满分12分)

在复数范围内解方程(i为虚数单位)

19.(本题满分14分)

已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x1<x<m, mÎR}

(1)求t, m的值;

(2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增,求不等式log a (–mx2+3x+2–t)<0的解集。

20.(本题满分14分)

某企业准备在2006年对员工增加奖金200元,其中有120元是基本奖金。预计在今后的若干年内,该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%。另外,每年新增加的奖金中,基本奖金均比上一年增加30元。那么,到哪一年底,

(1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以2006年为累计的第一年)将首次不少于750元?

(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%?

21.(本题满分16分)

已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12S22、……、Sn……,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90。(1)求anbn;(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于。若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由。

22.(本题满分18分)

函数f(x)=(ab是非零实常数),满足f(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求ab的值;

(2)是否存在实常数m,使得对定义域中任意的xf(x)+f(m–x)=4恒成立?为什么?

(3)在直角坐标系中,求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离AP的最小值。

金山区2005学年度第一学期高三数学期末考试试题

评分标准

一、填空题

1、{x3<x≤5} 2、0  3、y=10x, xÎR  4、p  5、5  6、3  7、  8、<a<2

9、–a  10、  11、17  12、n .2n–1

二、选择题

13、B  14、B  15、C  16、D

17、设过A点的直线交椭圆于B、C两点,B(x1, y1)、C(x2, y2)

则有x12+3y12=9,x22+3y22=9, …………………………………………………………3分

两式相减得:(x1+x2)( x1x2)+3(y1+y2)( y1y2)=0…………………………………………6分

因为A点是线段BC的中点,所以x1+x2= –2,y1+y2=2 ………………………………8分

代入得:kBC == ……………………………………………………………10分

所以l的方程为y=(x+1)+1……………………………………………………………11分

检验知:x–3 y+4=0为所求的方程。……………………………………………………12分

18、原方程化简为,………………………………………………3分

 (只要写出右边1–i就得3分)

  设z=x+yi(xyR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1–i, ………………………………5分

 (只要写出左边就得2分)

  所以x2+y2=1且2x = –1, ……………………………………………………………8分

 (写对一个得2分)

解得x= – …………………………………………………………………………9分

y= ±, …………………………………………………………………………11分

  所以原方程的解是z= –±i。…………………………………………………12分

19、(1) 由条件得:,………………………………………………………3分

所以………………………………………………………………………………6分

(2)因为f(x)= –(x)2+4+在(–∞,1)上递增,

所以≥1,a≥2 ………………………………………………………………………8分

log a (–mx2+3x+2–t)= log a (–2x2+3x)<0=log a 1

所以,………………………………………………………………10分

所以 ……………………………………………………………………12分

所以0<x<或1<x<…………………………………………………………………14分

20、(1)设基本奖金形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,(或a1=120,,d=30,或an =120+30 (n–1))…………………………………………………………………………1分

  Sn=a1n+n(n–1)d……………………………………………………………………2分

Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n)……………………………………………4分

注意:若直接写出Sn的整理式子(上面三个之一)4分全给

  令15n2+105n≥750,即n2+7n–50≥0,而n是正整数, ∴n≥5。…………………5分

(不区分≥、>、=,这一结果只影响最终结果)

到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元。6分

(2)设新增加的奖金形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,(或b1=200,q=1.08,或bn=bn–1q) ………………………………………………………………………………7分

bn=200· (1.08)n–1……………………………………………………………………9分

(在第2小题任意处出现上式,均给3分,即使b1=200,q=1.08,和bn=bn–1q同时出现,而没有代入,也给3分)

  由题意可知an>0.85 bn,有120+30 (n–1)>200· (1.08)n–1·0.85。 …………………11分

(不区分≥、>、=,这一结果只影响最终结果)

  由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5,………………………………13分

  到2010年底,当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85% ……14分

注意:如果直接列表计算也可,但表格必须完整,不能用……代替,否则第1小题只给2分,第2小题只给3分,对于表格中的数据,只要完整,不去验证具体数据。

21、(1){Sn}是以3为首项,以1为公差的等差数列;所以Sn2=3+(n–1)=n+2

因为an>0,所以Sn=(nÎN)………………………………………………………2分

n≥2时,an=Sn–Sn–1=

a1=S1=,所以an=(nÎN) ……………………………4分

设{bn}的首项为b1,公比为q,则有 ………………………………6分

所以,所以bn=3n(nÎN)…………………………………………………………8分

(2)=()n,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为c1=()p,公比为()k,(p、kÎN), 它的各项和等于=,……………………………………………………10分

则有,所以()p=[1–()k],…………………………………………12分

pk时3p3p–k=8,即3p–k(3k–1)=8, 因为p、kÎN,所以只有p–k=0,k=2时,

p=k=2时,数列{cn}的各项和为。 ……………………………………………14分

p<k时,3k1=8.3k–p,因为k>p右边含有3的因数,而左边非3的倍数,不存在p、kÎN

所以唯一存在等比数列{cn},首项为,公比为,使它的各项和等于。……16分

22、(1)由f(2)=1得2a+b=2,又x=0一定是方程=x的解,

所以=1无解或有解为0,………………………………………………………3分

若无解,则ax+b=1无解,得a=0,矛盾,

若有解为0,则b=1,所以a=。 ……………………………………………………6分

(2)f(x)=,设存在常数m,使得对定义域中任意的xf(x)+f(m–x)=4恒成立,

x=0,则f(0)+f(m–0)=4,即=4,m= –4(必要性)……………………………8分

m= –4时,f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ……………10分

所以存在常数m= –4,使得对定义域中任意的xf(x)+f(m–x)=4恒成立,…………11分

(3)AP2=(x+3)2+()2,设x+2=tt≠0,…………………………………………13分

AP2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10

=( t–+1)2+9, …………………………………………………………………16分

所以当t–+1=0时即t=,也就是x=时,

AP min = 3 ………………………………………………………………………18分