黄冈中学06届高三数学第二轮专题训练（三）

黄冈中学06届高三数学第二轮专题训练(三)

  命题人：黄冈中学高级教师　黄孝银  

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．二项式 的展开式中的常数项是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　A．15　　　　B．-15　　　　  C．20　　　　 D．-20

2．已知,则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　A．5　　　　 B．4　　　　　  C．3　　　　　 D．-3

3．已知a,b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且a垂直于平面α，b垂直平面β，则下面命题中的假命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　 （　 ）

A．若a平行于b,则α平行于β　　B．若α垂直于β，则a垂直于b

C．若a、b相交，则α、β相交　 D．若α、β相交，则a、b相交

4．设函数f(x)是可导函数，并且,则　　　　　　　  （　 ）

　A．　　　　B．-1　　　　  C．0　　　　　 D．-2

y

5．已知函数f(x)=a^x为减函数，则函数g(x)=log_a(x-1)的图象是　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

 A　　　　　　　　　  B　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 D

6．过点P（-1，2）且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　A．2x+y=0　　　B．x-2y+5=0　　　C．x-2y=0　　 D．x+2y-5=0

7．如下图所示，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，L是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量成正比，现要从P、Q、R、S中选出一处作为一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

A.　　 P点　　　 B. Q点　　　 C. R点　　　D. S点

8．设点P（x,y）在椭圆上，则点P到点（0，1）距离的最大值为　　　　　　　　　  （　 ）

　A．　　  B．3　　　　C．2　　　　 D．

9．函数f(x)=的单调递增区间为（0，+∞），那么实数a的取值范围是　　　　　 　　　（　 ）

　A．a≥0　　  B．a>0　　　C．a≤0　　　 D．a<0

10．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中选出3个数组成的子集，使得这三个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　A．120个　　B．115个　　C．75个　　  D．80个

11．在等比数列中，则等于　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　A．-1　　　　B．1　　　　C．-2　　　　 D．-2

12．正四面体ABCD中，G是△BCD的中点，M是AG上一点，若∠BMC=，则AM∶AG等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　（　 ）

　A．1∶1　　  B．1∶4　　 C．1∶3　　 D．1∶2

第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)

13．设、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点且且PF₁-PF­₂=1，则

tan∠F₁PF­₂=_________.

14．一个单位有职工160人，其中有业务员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人，为了了解职工的身体健康状况，要从中抽取一定容量的样本，现用分层抽样的方法得到业务员的人数为15人，那么这个样本容量是_________.

15．一直角梯形ABCD，AD是垂直于上、下底的腰，AB=2，CD=1，BC=，E为AD的中点，沿CE、EB折成一个三棱锥E-ABC（缺一个面ABC），使A、D重合于A，则这个三棱锥的体积是________.

16．把数字1，2，3……，9这9个数字填写在如右图的9个空格

中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，

当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有__________.

三、解答题（共74分）

17．（12分）在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且

.

（1）求角A的大小；

（2）若a=,b+c=3,求b和c的值.

18.（12分）如图，已知正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面相互垂直，且边长为a，M、N、P分别是BD、CE、AF的中点.
　　 （1）判断四边形ABFE的形状并证明；
　　 （2）求异面直线BD和CP所成的角；
　　 （3）判断△MNP的形状并证明.　

19．（12分）平面上有两个质点A、B分别位于点（0，0）、（2，2），在某一时刻同时开始每一秒钟向上下左右任一方向移动1个单位.已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和，质点B向各个方向移动的概率都是. 试求：

（1）　　　 点A经过2秒钟到达点C（1，1）的概率；

（2）A、B经过3秒钟，同时到达D（1，2）的概率.

20.（12分）已知x∈R,奇函数f(x)=x³-ax²-bx+c在［1，+∞］上是单调函数.

（1）求a、b、c应满足的条件；
　　（2）设x₀≥1,f(x₀)≥1且满足f(f(x₀))=x₀,求证：f(x₀)=x₀.

21.（12分）设x,y∈R,　i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量.若向量a = x i + (y + )j,　b= x i + (y -)j, 且 a + b =4.

（1）求点M（x,y）的轨迹C的方程；

（2）过点Q（-2，0）作直线L与曲线C交于A、B两点，设P是过点（，0）且以j为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线L，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由.

22.（14分）设函数f(x)=3x²+1,g(x)=2x，现有数列{a_n}满足条件：对于n∈N₊, a_n＞0且f(a_n+1)-f(a_n)=g(a_n+1+),又设数列{b_n}满足条件：b_n=(a为正数，n∈N₊).
　（1）求证：数列{a_n}为等比数列；

（2）求证:数列是等差数列；
　（3）设k,L∈N₊,且k+L=5,b_k=,b_L=，求数列{b_n}的通项公式；
　（4）如果k+L=M₀(k,L∈N₊,M₀＞3且M₀是奇数)，且b_k=,b_L=,求从第几项起a_n＞1恒成立.

答案：

（理科）试题（三）

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	C	D	B	B	A	B	D	A	D	C	D

二、填空题

13．　　　　　　　14．20　　　　　　　15．　　　　　　 16．12

三、解答题

17．解：（1）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得　4[1-cos（B+C）]-4cos²A+2=7.

　　　　　  又∵ cos（B+C）=-cosA，　∴4 cos²A-4cosA+1=0

　　　　　  解得：cosA=, 又A∈（0，π），∴ A=.

　　　  （2）由cosA= 知 =, 即.

　　　　　　 又a=，b+c=3，代入得 .

　　　　　　 由   或

18．解：（1）由AB平行且等于CD，CD平行且等于EF，有AB平行且等于EF，从而四边形ABFE是平行四边形

∵ 平面AC⊥平面DF，AD⊥CD，∴AD⊥平面DF，AD⊥EF

又EF⊥DE，∴EF⊥平面ADE　∴EF⊥AE

∴平行四边形ABFE是矩形且不是正方形

　　　　（2）如图，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），D（a，0，0），

B（0，0，a），P（，，）,　　

则=（a,0,-a），=（,,）

∵·=+0-=0　

∴⊥，即BD与CP所成的角是90°

　　　　（3）由P（，，），N（，，0），

M（，0，），

得 =（0，-，0），=（0，0，-）

　　　　　　 ∵·=0， ∴⊥

　　　　　　 又=,所以△MNP是等腰直角三角形.

　　另解提示:用非向量的方法解(2)与(3)时,可行先连结BE与DF,再进行推理与运算.

19．解：（1）设P_上、P_下、P_左、P_右分别表示点A向上、下、左、右移动的概率，点A经过2秒到达点C，只能是一秒向上移动，一秒向右移动.所以点A经过2秒到达C的路线对应“上、右”或“右、上”两种情况.

故所求概率为P=2P_上·P_右=2××=

　　　　（2）仿（1）可知，经过3秒点A到达点D的路线对应于“上、上、右”的一个排列，所以经过3秒后点A到达点D的概率为:　

P_A→D=3P_右·P_上·P_上=3×××=

　　　　　　 经过3秒点B到达点D的路线对应于“左、上、下”或“左、左、右”的一个排列，所以经过3秒后点B到达点D的概率为

P_B→D=A×××+3×××=

　　　　　　 又∵上述两事件为独立事件，∴所求概率为：P=×=

20．（1）解：由题意知c=0，又f(x)为奇函数，即f(x)+ f(-x)=0，得a=0，则f′(x)=3x²-b.

　　　　　　若f(x)在[1，+∞）上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3.

　　　　　　 若f(x)在[1，+∞）上是减函数，则f′(x)≤0恒成立，这样的b不存在.

　　　　　　 综上可得，a=c=0，b≤3.

　　（2）证法一：设f(x₀)=m，由f（f(x₀)）= x₀得f(m)= x₀，

于是有　

　　　　 　　　 （1）-（2）得（-）-b(-m)=m-,

化简可得（-m）(+m++1-b)=0

∵≥1，f(x₀)=m≥1，∴+m++1-b≥4-b≥1＞0

故-m=0，即有f(x₀)=

　　　　 证法二：假设f(x₀)≠，设f(x₀)=a.

①如果，由（1）知f(x)在[1，+∞）上是单调递增,

∴f（f(x₀)）=f(a)＞f(x₀)＞x₀

这与已知f（f(x₀)）= x₀矛盾.

②如果,仿①同理可推出矛盾.

由①与②可知,假设不成立.所以有f(x₀)= x_0.

21．解：（1）由题意可得点M（x,y）到两定点F₁（0，）、F₂（0，-）的距离和为4，故轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其方程为　x²+=1.

　　　 （2）显然x=-2与曲线C无交点，故直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k(x+2),并设点A、B的坐标分别为A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）.

　　　　　 由得（4+k²）x²+4 k²x+4 （k²-1）=0

△=16k⁴-16（4+ k²）（k²-1）=-16(3 k²-4)＞0 k²＜

∴x₁+x₂=-　①　　  x₁x₂=　②

∵=+　 ∴四边形OAPB为平行四边形

若存在直线L使得四边形OAPB为矩形，则·=0

∴x₁x₂+ y₁y₂=（1+ k²）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=0　③

将①②代入③解得k²=

设P（x₀,y₀），则x₀= x₁+x₂=-,故点P不在直线x=-上

即不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形.

　　 另解提示:解答第(2)题时,如果先利用OP中点即为AB的中点,可以求得k²=.与上面的解法一样还可求得k²=,这是不可能的,所以不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形.

22．解：（1）∵f(x)=3x²+1，g(x)=2x，f(a_n+1)-f(a_n)=g(a_n+1+)

∴3(a_n+1)²+1-3a²_n-1=2(a_n+1+),即6a_n=2a_n+1

∴=3　∴数列{a_n}是以3为公比的等比等列.

(2)∵b_n=　∴=,=

∴-==

∴数列{}是以为首项，公差为的等差数列

(3)为方便起见,记数列{}的公差为,由于.

∴ , ∴

∴

∴=

　　　 （4）若l+k=M₀，由（3）可知　 ===3 M₀-3n+1

假设第M项后面的项满足a_n＞1恒成立，

由于,∴0＜a＜1，所以只要＜0，即

又M∈N₊

∴M=M₀，即数列{a_n}从第M₀+1项起以后的项满足a_n＞1.