高三理科数学上册期末试卷
命题、校对：孟伟强、陈连原
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在复平面内，复数
对应的点位于
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．“a=
”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也不是必要条件
3．已知
为两条直线，则下列条件中可以判断平面
与平面
平行的是
A．
B．
( )
C．
D．
4．设
, 则此函数在区间 
和
内分别为 ( )
A．单调递增，单调递增 B．单调递增，单调递减
C．单调递减，单调递增 D．单调递减，单调递减
5．在数列
中,
,当n≥2时，
，且已知此数列有极限，则
等于 （ ）
A．-2 B．
6．已知随机变量
服从正态分布
，
，则
A．
B．
C．
D，
（ ）
7．若
且
，那么
的最小值是 （ ）
A．2 B．
C．
D．0
8．若函数
满足
, 且
时
，则函 数
的图象与函数
的图象的交点个数为 （ ）
A．16 B．
9．设
, 则对任意正整数
, 都成立的不等式
是 ( )
A．
B．
C．
D．
10．若函数
的图象如图所示，则m的范围为 （ ）
A．（－∞，－1）
B．（－1，2）
C．（1，2）
D．（0，2）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11．国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查.某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员、公司职员、教师各
抽取的人数为 ；
12．函数
的图象中相邻两条对称轴的距离是______
；
13．若
，则
.（用数字作答）
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内
每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比；药物释放完毕后， 与的函数关系式为
（
为常数），如图所示．据图中提供的信息，回
答下列问题：
⑴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间（小时）之间的函数关系
式为 ；
⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时，学生方可进教室，那么药
物释放开始，至少需要经过 小时
后，学生才能回到教室．
三、解答题：（本大题共5题，满分44分）
15．（本题满分8分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测
试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：
⑴选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；
⑵设选出的三位同学中男同学的人数为，求的概率分布和数学期望.
16．（本题满分8分）已知函数
(
) ,
⑴试确定
的单调区间 , 并证明你的结论 ;
⑵若
时 , 不等式
恒成立 , 求实数
的取值范围 .
17．（本题满分8分）在直三棱柱ABC—A1B
⑴求证：CD⊥平面A1ABB1；
⑵求二面角C—A1E—D的大小.
18．（本题满分10分）已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},……, 其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中 的最大数与后一个集合最小数是连续奇数；
⑴ 求第n个集合中最小数an的表达式；
⑵求第n个集合中各数之和Sn的表达式；
⑶令f(n)=
，求证：2≤
.
19．（本题满分10分）设
、
∈R，常数
，定义运算“
”：
，定义运算“
”：
；对于
、
，定义
；
⑴若
≥0，求动点P( ,
) 的轨迹；
⑵已知直线
与(Ⅰ)中轨迹C交于、两点，若
，试求的值；
⑶若直线
不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交 于两点P、Q , 试求
的取值范围。
参考答案
一、选择题：每小题4分，满分40分．
1．D 2．Ａ 3．Ｂ 4．C 5．Ｃ
6．A 7．B 8．B 9．Ｃ 10．C
二、填空题：每小题4分，满分16分．
11．6、10、4 12．
13．2008 14． 
；0.6
三、解答题: 本大题共5小题，共44分．
15．解（1）同学甲被选中的概率为
---------------2分
则同学甲被中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ----------4分
（2）根据题意，的可能取值为0、1、2、3，
|
的分布列为
------------8分
（注：分布列给3分，错一个扣1分）
16． 解：（1）当时 , 
, ------------2分
令
可得 ; 令
可得
.
∴函数 ()在区间
上是增函数; 在区间
上是减函数 4分
（2）由（1）得,函数函数 ()在区间上是增函数 ,
∴当时, 
.-------6分
∵不等式恒成立 , ∴
, 解之得 
.-----8分
17．证明：（1）设AD=，则BD=
从而
DE2=（
由∠A1DE=90°，得
|
∴D为AB的中点，于是CD⊥AB.--------4分
又平面ABC⊥平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.
解：（2）过D作DF⊥A1E，垂足为F，连结CF，则CF⊥A1E，
故∠CFD为二面角C—A1E—D的平面角.
∵
∴∠CFD=45°.------8分
18．解：（1）设第n个集合中最小数an , 则第
个集合中最小数
,
又第个集合中共有个数, 且依次增加2 ,
∴
,即 
,
∴
,
相加得
, 又
∴
--3分
（2）由(1)得 , 从而得
------5分
（3）由（2）得
, ∴
,
∵
≥
---7分
又当
≥2 时, 
≤
∴
≤
.
∴ 2≤ -----------------------------------10分
19．解：(1) 设
,
则
, 又由≥0 ,
可得P( ,) 的轨迹为
； -----3分
（范围不写扣1分）
(2) 由已知可得
, 整理得
由
得
.
∵
， ∴
．
∴
, 解得
---------6分
(3) ∵
，
∴
设直线
, 依题意
, 
，则
分别过P、Q作PP1⊥ y轴，1⊥ y轴，垂足分别为P1、Q1，
则
.
由
消去y ，得
.
∴
≥
.
∵
、
可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+
）-10分