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2006年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷

2014-5-20 5:56:28下载本试卷

2006年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷

参考答案及评分标准

一. 选择题。

 1. C    2. B     3. B     4. D

 5. A    6. C     7. A     8. D

二. 填空题(一题两空的题目,第一个空2分,第二个空3分)

 9.          10.

 11.       12. 9;5

 13.

 14.

三. 解答题(限于篇幅,每题只给出一种答案,其他答案仿此给分)

 15. 解:(I)因为

  所以………………2分

  所以,………………5分

  (II)

    ………………9分

    ………………11分

    ………………13分

 16. 解法一:(I)设“3次均取得白球得3分”的事件为A,………………2分

  则,………………4分

  (II)从袋中连续取2个球的情况为:2次均为白球;1次白球、1次红球;2次均为红球三种情况,所以,的可能取值为2、3、4。………………6分

  而每次取得红球的概率为,每次取得白球的概率为,每次取球的情况是彼此独立的。

  所以,

     

     ……………………10分

  

………………11分

  所以,………………13分

 17. 解法一:(I)在直三棱柱中,⊥平面ABC,所以⊥AC

  因为,所以为正方形

  又∠ACB=90°,所以AC⊥BC

  所以AC⊥平面………………2分

  连结,则在平面上的射影

  因为,所以………………4分

  (II)因为,所以BC∥面

  所以点B到平面的距离等于点C到平面的距离………………6分

  连结于H,则

  由于

  所以⊥平面

  所以CH⊥平面

  所以CH的长度为点B到平面的距离

  ………………8分

  (III)取中点D,连

  因为是等腰三角形,所以

  又平面,所以

  所以平面………………10分

  作DE⊥于E,连

  则DE为在平面上的射影

  所以,为二面角的平面角………………12分

  由已知

  所以

  

  即二面角的大小为60°………………14分

  解法二:(I)如图建立直角坐标系,其中C为坐标原点。

  依题意A(2,0,0),B(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)………………2分

  因为

  所以………………4分

  (II)设是平面的法向量

  由,得

  ,所以

  令,则

  因为

  所以,B到平面的距离为………………8分

  (III)设是平面的法向量

  由,得

  ,所以

  令,则………………10分

  因为………………13分

  所以,二面角的大小为60°。………………14分

 18. 解:(I)椭圆的右顶点为(2,0)………………1分

  设(2,0)关于直线的对称点为,则

  ………………3分

  解得:

  所以

  则,所求椭圆方程为………………4分

  (II)设

  由得:

  所以

    ………………5分

  因为,即

  所以………………6分

  由<1><3>得:

  代入<2>得:

  整理得:………………9分

  所以

  所以………………11分

  由于对称性,只需求时,△OAB的面积,

  此时,

  所以………………13分

 19. 证明:(I)当时,

………………1分

  整理得:,所以是公比为a的等比数列

  又,所以………………3分

  (II)因为

  (i)当时,………………4分

         

………………5分

  两式相减,整理得:………………7分

  所以,………………9分

  (ii)因为,所以,

  当n为偶数时,

  当n为奇数时,

  所以,如果存在满足条件的正整数m,则m一定是偶数。

  ………………11分

  当时,

  所以

  又,所以,当时,

  即

  当时,,即

  即存在正整数,使得对于任意正整数n都有………………14分

 20. 解:(I)因为………………2分

  所以,满足条件………………3分

  又因为当时,,所以方程有实数根0。

  所以函数是集合M中的元素。………………4分

  (II)假设方程存在两个实数根

  则………………5分

  不妨设,根据题意存在实数

  使得等式成立………………7分

  因为,且,所以

  与已知矛盾,所以方程只有一个实数根

………………9分

  (III)不妨设,因为

  所以为增函数,所以………………10分

  又因为,所以函数为减函数

  所以………………11分

  所以

  即………………12分

  所以