2006年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷
参考答案及评分标准
一. 选择题。
1. C 2. B 3. B 4. D
5. A 6. C 7. A 8. D
二. 填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）
9. 
10.
11. 
12.
9；5
13. 
14. 
三. 解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）
15. 解：（I）因为
所以
………………2分
所以，
………………5分
（II）
………………9分
………………11分
………………13分
16. 解法一：（I）设“3次均取得白球得3分”的事件为A，………………2分
则，
………………4分
（II）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球、1次红球；2次均为红球三种情况，所以，
的可能取值为2、3、4。………………6分
而每次取得红球的概率为
，每次取得白球的概率为
，每次取球的情况是彼此独立的。
所以，
……………………10分
………………11分
所以，
………………13分
17. 解法一：（I）在直三棱柱
中，
⊥平面ABC，所以⊥AC
因为
，所以
为正方形
又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC
所以AC⊥平面………………2分
连结
，则为
在平面上的射影
因为
，所以
………………4分
（II）因为
面
，所以BC∥面
所以点B到平面的距离等于点C到平面的距离………………6分
连结
交
于H，则
由于
所以
⊥平面
所以CH⊥平面
所以CH的长度为点B到平面的距离
………………8分
（III）取
中点D，连
因为
是等腰三角形，所以
又
平面
，所以
所以
平面
………………10分
作DE⊥于E，连
则DE为在平面上的射影
所以，
为二面角
的平面角………………12分
由已知
所以
即二面角的大小为60°………………14分
解法二：（I）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点。
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），
（0，2，2），
（0，0，2）………………2分
因为
所以………………4分
（II）设
是平面的法向量
由
，得
，所以
令
，则
因为
所以，B到平面的距离为
………………8分
（III）设
是平面
的法向量
由
，得
，所以
令
，则
………………10分
因为
………………13分
所以，二面角的大小为60°。………………14分
18. 解：（I）椭圆的右顶点为（2，0）………………1分
设（2，0）关于直线
的对称点为
，则
………………3分
解得：
所以
则
，所求椭圆方程为
………………4分
（II）设
由
得：
所以
………………5分
因为
，即
所以
………………6分
由<1><3>得：
代入<2>得：
整理得：
………………9分
所以
所以
………………11分
由于对称性，只需求
时，△OAB的面积，
此时，
所以
………………13分
19. 证明：（I）当
时，
………………1分
整理得：
，所以
是公比为a的等比数列
又
，所以
………………3分
（II）因为，
（i）当
时，
………………4分
………………5分
两式相减，整理得：
………………7分
所以，
………………9分
（ii）因为
，所以，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
。
所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数。
………………11分
当
时，
所以
又
，所以，当
时，
即
当
时，
，即
即存在正整数
，使得对于任意正整数n都有
………………14分
20. 解：（I）因为
………………2分
所以
，满足条件
………………3分
又因为当
时，
，所以方程
有实数根0。
所以函数
是集合M中的元素。………………4分
（II）假设方程存在两个实数根
则
………………5分
不妨设
，根据题意存在实数
使得等式
成立………………7分
因为
，且
，所以
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根
………………9分
（III）不妨设
，因为
所以
为增函数，所以
………………10分
又因为
，所以函数
为减函数
所以
………………11分
所以
即
………………12分
所以