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全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:00下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(六)

(命题人:秦永 苟春鹏)

第一试

一、      选择题:(每小题6分,共36分)

1、在复平面上,非零复数z1z2在以i对应的点为圆心,1为半径的圆上,的实部为零,argz1=,则z2=

(A)   (B)  (C)   (D)

2、已知函数在[1,2]上恒正,则实数a的取值范围是

(A)             (B)

(C)        (D)

3、已知双曲线过点M(-2,4),N(4,4),它的一个焦点为F1(1,0),则另一个焦点F2的轨迹方程是

(A)y≠0)或x=1(y≠0)

(B)x≠0)或x=1(y≠0)

(C)y≠0)或y=1(x≠0)

(D)x≠0)或y=1(x≠0)

4、已知正实数ab满足a+b=1,则的整数部分是

(A)1      (B)2     (C)3     (D)4

5、一条笔直的大街宽是40米,一条人行道穿过这条大街,并与大街成某一角度,人行道的宽度是15米,长度是50米,则人行道间的距离是

(A)9米      (B)10米    (C)12米    (D)15米

6、一条铁路原有m个车站,为适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58种(注:从甲站到乙站需要两种不同的车票),那么原有车站的个数是

(A)12     (B)13     (C)14     (D)15

二、      填空题:(每小题6分,共36分)

1、长方形ABCD的长AB是宽BC倍,把它折成无底的正三棱柱,使ADBC重合折痕线EFGH分别交原对角线ACMN,则折后截面AMN与底面AFH所成的角是         

2、在△ABC中,abc是角ABC的对边,且满足a2+b2=2c2,则角C的最大值是         

3、从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此继续下去.则第n次操作后溶液的浓度是          

4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集,对任意x≥0,规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}.若f(x)=3-xg(x)=,则f(x)*g(x)的最大值为    

   

5、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则可有    不同的取法.

6、若实数a>0,则满足a5-a3+a=2的a值属于区间:①;②;③;④.其中正确的是       

三、      (20分)

求证:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积

四、      (20分)

直线Ax+Bx+C=0(A·B·C≠0)与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于PQ两点,O为坐标原点,且OPOQ.求证:

五、      (20分)

某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品的总金额)为60万元,根据经验,各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润如表2.商场将计划日营业额分配给三个经营部,同时适当安排各部的营业员人数,若商场预计每日的总利润为c(万元)且满足19≤c≤19.7,又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元,问这个商场怎样分配日营业额给三个部?各部分别安排多少名售货员?

表1  各部每1万元营业额所需人数表

部门

人数

百货部

5

服装部

4

家电部

2

表2  各部每1万元营业额所得利润表

部门

利润

百货部

0.3万元

服装部

0.5万元

家电部

0.2万元

第二试

一、      (50分)

矩形ABCD的边AD=·AB,以AB为直径在矩形之外作半圆,在半圆上任取不同于AB的一点P,连PCPDABEF,若AE2+BF2=AB2,试求正实数的值.

二、      (50分)

aiR+i=1,2,…,n),,且2≤nN

求证:

三、      (50分)

无穷数列{cn}可由如下法则定义:cn+1=1-1-2cn,而0≤c1≤1.

(1)证明:仅当c1是有理数时,数列自某一项开始成为周期数列.

(2)存在多少个不同的c1值,使得数列自某项之后以T为周期(对于每个T=2,3,…)?

参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

A

C

A

B

C

C

二、填空题:

  1、;               2、

  3、;            4、

  5、2500;              6、③④.

三、证略.

四、证略.

五、8,23,29或10,20,30(万元),对应40,92,58或50,80,60(人).

第二试

一、

二、证略.

三、 (1)证略.

   (2)无穷个.