全国高中数学联赛模拟试题(九)
（命题人：葛军）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、已知n、s是整数．若不论n是什么整数，方程x2-8nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s的集合是
（A）奇数集 （B）所有形如6k+1的数集
（C）偶数集 （D）所有形如4k+3的数集
2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是
（A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009
3、非常数数列{ai}满足
，且
，i=0,1,2,…,n．对于给定的自然数n，a1=an+1=1，则
等于
（A）2 （B）-1 （C）1 （D）0
4、已知、是方程ax2+bx+c=0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，
是实数，则
的值是
（A）1
（B）2 （C）0
（D）
i
5、已知a+b+c=abc，
，则A的值是
（A）3 （B）-3 （C）4 （D）-4
6、对xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有
，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An-1An的距离为hn-1，到直线AnA1的距离为hn．若存在点P使
（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n-1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件
．
2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a的最小值是 ．
3、已知
，a、∈R，a≠0．那么，对于任意的a、，F(a,)的最大值和最小值分别是
．
4、已知t＞0，关于x的方程为
，则这个方程有相异实根的个数情况是
．
5、已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n}，可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z，则满足上述要求的两个最小的正整数n是 ．
6、任给一个自然数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k） ．
三、（20分）
过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求
之值．
四、（20分）
数列{an}定义如下：a1=3，an=
（n≥2）．试求an（n≥2）的末位数．
五、（20分）
已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．
证明：
≤a2+b2+c2+4abc＜1．
第二试
一、（50分）
已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．
二、（50分）
M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．
三、（50分）
实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．
参考答案
第一试
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | C | B | D | C | C | C |
二、填空题：
1、该凸多边形存在内切圆； 2、5；
3、
，
； 4、9；
5、5，8； 6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．
三、
．
四、7．
五、证略．
第二试
一、证略；
二、证略．
三、 有．