全国高中数学联赛模拟试题(十)
（命题人：杨建忠 审题人：李潜）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、 设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是
（A）45 （B）27 （C）15 （D）11
2、 已知sin2=a，cos2=b，0＜＜
，给出
值的五个答案：
①
； ②
； ③
； ④
； ⑤
．
其中正确的是：
（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤
3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
（A）64 （B）66 （C）68 （D）70
4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为
（A）729 （B）972 （C）243 （D）981
5、 
（其中
，[x]表示不超过x的最大整数）的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
6、 一个五位的自然数
称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是
（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、 过椭圆
上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是
．
2、 已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()= ．
3、 不等式
的解集为
．
4、 设复数z满足条件z-i=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得
为实数，则复数-2的辐角主值的取值范围是
．
5、 设a1,a2,…,a2002均为正实数，且
，则a1a2…a2002的最小值是
．
6、 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，等），否则称它为“非优选”数码（如，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．
三、（20分）
已知数列{an}是首项为2，公比为
的等比数列，且前n项和为Sn．
（1） 用Sn表示Sn+1；
（2） 是否存在自然数c和k，使得
＞2成立．
四、（20分）
设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且EF=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．
五、（20分）
已知定义在R+上的函数f(x)满足
（i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；
（ii）当x＞1时，f(x)＜0；
（iii）f(3)=-1．
现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)f(p2+1)-f(5q)-2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)f(
)+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使
，说明理由．
第二试
一、（50分）
如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若
，求证：∠POQ=60°．
二、（50分）
已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数．
三、（50分）
设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；
（2） 三角形的内心是坐标原点．
参考答案
第一试
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | A | C | B | D | D | B |
二、填空题：
1、
； 2、
；
3、
； 4、
；
5、40022002； 6、
．
三、（1）
； （2）不存在．
四、
．
五、不存在．
第二试
一、证略；
二、n=3．
三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．