高三第一轮复习数学---圆锥曲线的综合应用（2）
一、教学目标：进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．
二、教学重点：巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．
三、教学过程：
（一）主要知识：
（二）例题分析：
[例1]（2001全国高考）已知抛物线
的弦
过抛物线的焦点，
点在抛物线的准线上，
轴，
证明：直线
过原点。
（目的：进一步探讨抛物线的几何性质）
【解析】利用方程求解
因为抛物线的焦点坐标是
设直线的方程是：
代入抛物线方程得：
，设
，则点坐标为
则
因为轴，点在抛物线的准线上，直线
的斜率
，所以直线过原点。
（解法二）向量法
[例2]如图，垂直于x轴的直线l于与圆F:
相切，P为坐标平面内一动点，PQ⊥l于Q，且
.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）过圆心F作直线交点P的轨迹于A、B两点,
若
， 求点A、B的坐标.
（目的：综合运用直线、圆、椭圆的几何性质解决相关问题）
【解析】
（Ⅰ）由条件，
设点
化简得
所以，
即为所求点
的轨迹方程。
（Ⅱ）设过
的直线方程为
，因为
可知
存在，且有
又有
即
且
由（1），（2）
得
[例3]已知
的面积为
，且
建立如图所示的直角坐标系。
（I）若
求向量
所在的直线方程；
(II）设
若以
为中心、为焦点的椭圆经过点
，求当
取得最小值时，椭圆的方程。
（目的：综合运用函数的性质、向量、导数的有关知识、方法解决问题）
【解析】
（I）设
所在的直线方程为
或
。
(II）
又
令
则
在
上递增，
此时
取最小值，
由题意，设椭圆方程
[例4]已知：
面积为
以O为中心，F为焦点的双曲线过点P。
（I）求
的大小；
(II）若P点到中心O的距离为P点到两焦点距离的比例中项，请建立恰当的坐标系，写出双曲线的方程
【解析】
设
即
（2）以O为坐标原点，OF所在直线为
轴建立直角坐标系，设双曲线方程为
点关于O的对称点为
，
则据题知：
由（1）得
（1），又
即
由（1），（2），（3）可得
所以曲线方程为
（三）巩固练习：
1．以过椭圆的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系为 （ ）
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）不能确定
（目的：理解并引申以过焦点弦为直径的圆与圆锥曲线相应准线的位置关系）
【答案】（C）
【解析】利用椭圆的第二定义及离心率小于
的特性。
2．双曲线
的离心率
，焦点到其中一条渐进线的距离为
，
是双曲线上关于
轴对称的两点，为坐标原点，则
等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（目的：掌握等轴双曲线的离心率、渐进线的特征及其对称性）
【答案】（A）
【解析】由得
由焦点到渐进线的距离为2，得
故双曲线的方程为
设
则
，
3．抛物线的动弦长为
，则中点
到轴的最短距离是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（目的：理解并掌握抛物线的定义）
【答案】（D）
【解析】
利用抛物线的定义可得。
4．已知椭圆，为左焦点，
为左顶点，
为上顶点，为下顶点，且
则椭圆的离心率为
。
（目的：掌握利用条件列出
的关系，从而求出离心率）
【答案】
【解析】
解出
。
5．双曲线
的中心在原点，以坐标轴为对称轴，并且与圆
的一个交点为
，如果圆在点的切线与的渐进线平行，则的方程是
。
（目的：利用渐进线求双曲线方程）
【答案】
【解析】圆在点的切线方程为
，
设的方程为
过点
四、小结：
1、与圆锥曲线的几何性质相关的问题有“中点弦”问题、对称性问题、最值问题等，若条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质来解决；若条件和结论能明显体现一种明确的函数关系，则可考虑先建立目标函数，再利用求最值常用的配方法、判别式法、不等式法及函数的单调性法。
2、 解析几何也可以与数学的其他知识想联系，例如与向量知识相联系是一个主要的趋势，这时在解题时，要能够顺利地实现一知识向另一知识的转化。
五、作业：