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高二物理弹簧类专题

轻弹簧是一种理想的物理模型，在《考试说明》中涉及它的知识点有：

①形变和弹力，胡克定律(该知识点为B级要求)；

②弹性势能(A级要求)、弹簧振子等

弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。因此，要知道在某一作用瞬间(如碰撞)弹力会保持不变。弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，故它引起的物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

下文结合题例剖析弹簧类问题的研究方法。

〖典型例题透析〗

(一)平衡中的弹簧问题

〖例1〗(2000年广东高考)S_l和S₂表示劲度系数分别为k₁和k_：的两根弹簧。k₁>k_：，a和b表示质量分别为m_a和m_b的两个物块，m_a>m_b，将弹簧与物块按图所示方式悬挂起来。现要求两根弹簧的总长度最大，则应使：〖D〗

A.S₁在上，a在上　　B. S₁在上，b在上

C.S₂在上，a在上　　D. S₂在上，b在上

(二)动力学中的弹簧问题

〖例2〗(1991年三南高考)一条轻弹簧和一根细线共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是θ，如图所示。若突然剪断细线，则在刚剪断的瞬时，弹簧拉力的大小是　　，小球加速度的方向与竖直方向的夹角等于　　　。

〖解题思路〗

在细线未断之前，小球受三个力作用，而处于平衡状态，如图所示，T=mgtgθ。

当细线突然剪断瞬间，拉力了消失，但弹簧还没有恢复形变，此时，F大小、方向均不变，仍为。

细绳剪断瞬间，小球受的重力与弹簧的弹力的合力必与细绳未剪断时对它的作用力等值反向，即mgtgθ=ma，a=gtgθ，a的方向与竖直方向的夹角等于90⁰。

(三)功和能中的弹簧问题

〖例题3〗(1996年全国高考)如图，劲度系数k₁的轻弹簧两端分别与质量为m_l、m₂的物块1、2拴接，劲度系数为k₂的轻弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了　　　　，物块1的重力势能增加了　　　　 .

〖解题思路〗

平衡时，弹簧k₂形变。。上提至下端刚脱离桌面，弹簧k₂恢复原长。物块2升高了x₂，其重力势能增量为：.

平衡时，弹簧k₁收缩量；拉升后弹簧k₁，拉伸量。物块1升高为x₁+x₂+x’₁时重力势能增量为：

(四)电磁学中弹簧问题

〖例4〗(1999年广东高考)一劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂有一匝数为n的矩形线框abcd，bc边长为l。线框的下半部处在匀强磁场中，磁感强度大小为B，方向与线框平面垂直，在图中垂直于纸面向里。线框中通以电流I，方向如图所示。开始时线框处于平衡状态，令磁场反向，磁感强度的大小仍为B，线框达到新的平衡。在此过程中线框位移的大小△x=　　　　　 ,方向　　　　　 .

〖解题思路〗

令线框质量为m。开始时，线框受向下的重力、向上的弹力和安培力，三力平衡，有mg=nBIL+kx₁…………①

磁场反向后，安培力由向上改为向下，其他力情况不变，有：

mg+nBIL=kx₂…………②

　　△x=x₂-x₁…………③

由①②③解之：，方向向下。

(五)综合性弹簧问题

〖例5〗(1997年全国高考)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x_o，如图所示。一物块从钢板正上方距离为3x_o的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到点O时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。

〖解题思路〗

⑴物体下落与钢板碰撞过程。

由自由落体运动知识，知碰前物体的速度为，设碰后速度为v₁，因碰撞过程时间极短，故物体与钢板系统动量守恒。

　　mv₀=2mv₁　　

⑵弹簧开始压缩到又伸长至O点的过程。

刚碰完弹簧开始压缩时的弹簧的弹性势能令为E_P，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零。由机械能守恒，有：

所以：

⑶当物体质量为2m时，由自由落体知识及动量守恒定律，有和2mv’₀=3mv₂，解得：，其中v₂为物体与钢板碰后的共同速度。

刚碰完时弹簧的弹性势能为。它们回到O点时，弹性势能为零，但它们仍继续向上运动，设此时速度为v，则有：

又因与钢板碰撞的两次过程中，弹簧的初始压缩量都是x₀，故有，从而由以上求得：。

⑷物体回到O点后继续上升过程。

当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g，一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g。故在O点物块与钢板分离，分离后，物块以速度v竖直上抛，因此。物块上升的最大高度为。

专项训练

一、选择题：

1、如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B点。在B点正上方A点处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落。物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C点时，物块的速度为零。如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是

A、物块在B点时动能最大

B、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块的加速度的最大值大于g

C、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块做简谐运动

文本框: D、如果将物块从B点由静止释放，物块仍能到达C点

2、如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端系一铜球，铜球下端放有通电线圈。今把铜球拉离平衡位置后释放，此后关于小球的运动情况（不计空气阻力）是（　　）

　A．做等幅振动　　　 B．做阻尼振动

C．振幅不断增大 D．无法判断

3、如图所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x₀时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图象，可能是下图中的

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

4、如图所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是　　

A.两木块速度相同时，加速度a_A= a_B　　　

B.两木块速度相同时，加速度a_A> a_B

C.两木块加速度相同时，速度v_A> v_B　　　

D.两木块加速度相同时，速度v_A< v_B

5、如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上作振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中

A.物体在最低点时的弹力大小应为2mg

B.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变

C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA

D.物体的最大动能应等于2mgA

6、如图2－3－1，木块B放在光滑的水平桌面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧作为一个系统，则此系统在从子弹射入木块到弹簧压缩到最短的过程中(　　 )

A．动量守恒，机械能守恒

B．动量守恒，机械能不守恒

C．动量不守恒，机械能守恒

D．动量不守恒，机械能也不守恒

7．一轻质弹簧左端固定，右端系一物块，物块与水平面各处动摩擦因数相同，弹簧无形变时物块位于o点，今先后把物块拉到P₁和P₂点静止释放，物块都能运动到o点左方，设两次运动过程中物块速度最大位置分别为Q₁和Q₂，则Q₁和Q₂点

A，都在O点

B，都在O点右方，且Q₁离O点近

C，都在O点右方，且Q₂离O点近

D，都在O点右方，且Q₁，Q₂在同一位置

8．弹簧振子的质量为M，弹簧劲度系数为k，在振子上面放一质量为m的木块，使振子和木块一直在光滑水平面上作简谐振动，如图所示，木块的回复力F是振子对木块的静摩擦力提供的，若F也满足F=－k′x，x是弹簧的伸长（或压缩）量那么k′/k应是（　　）

A．　　　　　 B．

C．　　　　D．

9．如图所示，质量为m的小车的水平底板两端各装一根完全一样的弹簧，小车底板上有一质量为的滑块，滑块与小车、小车与地面的摩擦都不计．当小车静止时，滑块以速度v从中间向右运动，在滑块来回与左右弹簧碰撞的过程中：

A.当滑块速度方向向右，大小为时，一定是右边的弹簧压缩量最大

B.右边弹簧的最大压缩量大于左边弹簧的最大压缩量

C.左边弹簧的最大压缩量大于右边弹簧的最大压缩量

D.两边弹簧的最大压缩量相等

二、综合计算题：

1、如图所示，质量为m₂和m₃的物体静止在光滑的水平面上，两者之间有压缩着的弹簧，一个质量为m₁的物体以速度v₀向右冲来，为了防止冲撞，m₂物体将m₃物体以一定速度弹射出去，设m₁与m₃碰撞后粘合在一起，则m₃的弹射速度至少为多大，才能使以后m₃和m₂不发生碰撞？

2、如图所示，质量M＝0.8kg的小车静止在光滑的水平面上，左端紧靠竖直墙，在车上左端水平固定着一只弹簧，弹簧右端放一个质量m＝0.2kg的滑块，弹簧为原长时，滑块位于C处（滑块可视为质点），车的上表面AC部分为光滑平面，CB部分为粗糙水平面，CB长L＝1m，与滑块的摩擦因数m＝0.4，水平向左推动滑块，将弹簧压缩，然后再把滑块从静止释放，在压缩弹簧过程中推力做功2.5J，滑块释放后，将在车上往复运动，最终停在车上某处，设滑块与车的B端碰撞时机械能无损失，g＝10m/s²。求：

（1）滑块释放后，第一次离开弹簧时的速度大小;

（2）滑块停在车上的位置离B端多远？

3、如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m_A＝2.0kg，m_B＝1.0kg，m_C＝1.0kg，现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108J（弹簧仍处于弹性范围），然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连。求：

⑴弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前），A和B物块速度的大小。

⑵当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。

4、如图所示，质量均为2.0kg的物块A、B用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙接触。另一个质量为4.0kg的物块C以v=3.0m/s的速度向A运动。C与A碰撞后粘在一起不再分开。它们共同向右运动，并压缩弹簧。求：⑴弹簧的最大弹性势能E能达到多少？⑵以后的运动中，B也将会离开竖直墙。那么B离开墙后弹簧的最大弹性势能E ^/是多少？

5、如图所示，质量均为m的A、B两物体，用劲度为k的轻质弹簧相连，A被手用外力F提在空中静止，这时B离地面的高度为h。放手后，A、B下落，若B与地面碰撞后不再反弹，求：A从开始下落到其速度达到最大的过程中，A的重力势能的改变量。

6、两根轻弹簧将一个金属块固定在一只箱子的上、下底面之间。箱子只能沿竖直方向运动。两根弹簧的原长均为0.80m，劲度均为60N/m。已知当箱子以2.0m/s²匀减速上升时，上面弹簧的长度为0.70m，下面弹簧的长度为0.60m。若箱子上、下底面受到的弹簧压力大小之比为1∶4，那么当时箱子的运动情况如何？

7、如图26所示，一轻质弹簧一端固定，一端与质量为 m 的小物块A相联，原来A静止在光滑水平面上，弹簧没有形变，质量为m的物块B在大小为F的水平恒力作用下由C处从静止开始沿光滑水平面向右运动，在O点与物块A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短）。运动到D点时，将外力F撤去，已知CO=4S，OD=S,则撤去外力后，根据力学规律和题中提供的信息，你能求得哪些物理量（弹簧的弹性势能等）的最大值？并求出定量的结果。

8、如图6所示，质量为M的小车B静止在光滑水平面上，车的左端固定着一根弹簧，小车上O点以左部分光滑，O点以右部分粗糙，O点到小车右端长度为L 。一质量为m的小物块A（可视为质点），以速度v₀从小车右端向左滑动，与弹簧相碰，最后刚好未从小车右端滑出。求：

（1）小车的动摩擦因数μ。

（2）碰撞时弹簧的最大弹性势能。

9、如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A，木匣A顶部悬挂一木块B（可当作质点），A和B的质量都为m=1kg，B距木匣底面h=16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L。某时刻，县挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚为0时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v′=1m/s。求：

　（1）碰撞中的动能损失△E_k；

　（2）弹簧的劲度系数k；

　（3）原来静止时的弹性势能E₀。

10、如图2－3－7所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小物块m连接，且M、m及M与水平地面间接触均光滑．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F₁和F₂，F₁=F₂=F．设整个过程中弹簧的形变不超过弹性限度，m未滑离M．求：

(1)当长木板M的位移为L时，M、m及弹簧组成的系统具有的机械能是多少？

(2)如长木板M的位移L是未知的，则当L是多少时，由M、m及弹簧组成的系统具有的机械能最大．这时系统具有的机械能是多少？

11．质量m_A=10kg的物块A与质量m_B=2kg的物块B放在倾角θ=30⁰的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数k=400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g=10m/s²）

（1）力F的最大值与最小值

（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能。